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Anne Bauval (discuter | contributions)
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{{Démonstration|contenu=
SoitFixons d''ω''abord un nombre appartenant à l'intervalle [0, 1[ etune soitbase ''b'' un entier supérieur ou égal à 2.et Notonsnotons <math>A=\{0,..\dots,b-1\}.</math>. Soit ''ω'' appartenant à l'intervalle [0, 1[. Alors ''ω'' possède un unique [[Développement décimal périodique#Le cas des nombres décimaux|développement propre]] en base ''b'' : il existe une unique écriture de ''ω'' sous la forme :
<center><math> \omega=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\varepsilon_n( \omega)}{b^n}},</math></center>
tel que, pour tout ''n'', <math>\varepsilon_n(\omega)\in A,</math> et tel que la suite <math>\left(\varepsilon_n(\omega)\right)_{n\ge 1}</math> ne se termine pas par une suite infinie de chiffres ''b'' – 1.
On se donne un « mot<ref name="lothaire">Voir {{Ouvrage
| titre = Combinatorics on Words
| éditeur=[[Addison-Wesley]]
| collection = Encyclopedia of Mathematics and its Applications
|auteur=[[M. Lothaire]]
| langue = anglais
| année = 1983
| publi = 1997
| pages totales = 260
}}, pour le vocabulaire et les notations de la théorie des langages. À ce propos, les mêmes raisonnements conduisent Borel, en 1913, à soulever le [[paradoxe du singe savant]], qui a connu une certaine fortune dans l'imagination populaire : l'anecdote mise à part, il s'agit d'étudier le nombre d'occurrences d'un mot très long dans une séquence infinie de caractères aléatoires indépendants, tirés d'un alphabet ''A'' fini. Voir {{Article|auteur=Émile Borel | titre=Mécanique Statistique et Irréversibilité| journal=J. Phys.|série=5| volume=3 | année=1913 | pages=189-196}}.</ref> » <math>m=(m_1,...,m_k)\in A^k,</math> et l'on s'intéresse à la fréquence d'apparition de ce mot dans la suite des ''n'' premiers chiffres du développement de ''ω'' en base ''b''.
 
On se donne un chiffre ''a'' ∈ ''A'' et l'on s'intéresse à la fréquence d'apparition de ce chiffre dans la suite des ''n'' premiers chiffres du développement de ''ω'' en base ''b''.
On se place sur l'[[espace probabilisé]] <math>\left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right),</math> où <math>\Omega=\left[0,1\right[</math>, où <math>\mathcal A</math> désigne la [[tribu borélienne]] de <math>\Omega</math> et où <math>\mathbb P</math> est la [[mesure de Lebesgue]] restreinte à <math>\mathcal A</math>; Alors, sous <math>\mathbb P</math>, la famille <math>\left(\varepsilon_n\right)_{n\ge 1}</math> est une famille de variables aléatoires [[Loi uniforme discrète|uniformes]] sur ''A'' et [[Indépendance (probabilités)#Cas des variables discrètes|indépendantes]], c'est-à-dire que, pour toute partie finie ''B'' de [[Entier naturel|ℕ]] ▼
 
▲On se place sur l'[[espace probabilisé]] <math>\left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right),</math> où <math>\Omega=\left[0,1\right[</math>, où <math>\mathcal A</math> désigne la [[tribu borélienne]] de <math>\Omega</math> et où <math>\mathbb P</math> est la [[mesure de Lebesgue]] restreinte à <math>\mathcal A</math>;. Alors, sous <math>\mathbb P</math>, la famille <math>\left(\varepsilon_n\right)_{n\ge 1}</math> est une famille de variables aléatoires [[Loi uniforme discrète|uniformes]] sur ''A'' et [[Indépendance (probabilités)#Cas des variables discrètes|indépendantes]], c'est-à-dire que, pour toute partie finie ''B'' de [[Entier naturel|ℕ]]
<center><math>\mathbb P\left(\forall i\in B\quad\varepsilon_i=m_i\right)=b^{-\#B}.</math></center>
pour desLes variables aléatoires▼
Dans le cas particulier d'un mot ''m'' de longueur 1, {{c.-à-d.}} si ''m'' est simplement un chiffre de ''A'', les variables aléatoires
<center><math>X_j=1_{\varepsilon_j=ma},</math></center>
sont des [[Loi de Bernoulli#Variable de Bernoulli|variables de Bernoulli]] indépendantes de paramètre 1/''b'' et, en vertu de la [[loi forte des grands nombres]], la fréquence d'apparition de ''ma'' dans la suite des ''n'' premiers chiffres du développement de ''ω'' :
<center><math>F_mF_a(n,\omega)=\frac{X_1(\omega)+...+X_n(\omega)}n</math></center>
vérifie :
<center><math>F_mF_a(n)\underset{p.s.}{\longrightarrow}E[X_1]=\frac1b.</math></center>
AinsiPar conséquent<ref name=Intersection/>, [[Presque sûrement|presque tout]] élément ''ω'' de ''Ω'' = [0, 1[ est ''simplement'' normal en base ''b''., Lece casqui des mots de longueur 1 est plus simple que le cas général. Examinons le cas ds'unécrit, moten ''m''notant = (''m''<submath>1</sub>,\mathcal ''m''<sub>2N_b</submath>) de longueur 2 dans l''A''{{2}},ensemble quides captureréels déjàsimplement toutenormaux laen difficulté du cas général : la fréquence debase ''mb'' estappartenant encoreà définie[0, par1[ :
<center><math>F_m\mathbb{P}\left(n)=\fracmathcal{X_1+...+X_nN}n,_b\right)=1</math>.</center>
onOn en déduit<ref name=Intersection>Car l'une intersection finie ou dénombrable d'[[Événement (probabilités)|événements]] de probabilités 1 est encore un événement de probabilité 1, voir la page « [[Inégalité de Boole]] ».</ref> que :▼
▲pour des variables aléatoires
<center><math>X_j=1_{(\varepsilon_j,\varepsilon_{j+1})=m},</math></center>
qui sont encore des variables de Bernoulli, cette fois de paramètre 1/''b''{{2}}. Cependant, ces nouvelles variables de Bernoulli ne sont pas indépendantes :
<center><math>\mathbb P\left(X_j=X_{j+1}=1\right)=b^{-3}1_{m_1=m_2}\ne b^{-4}=\mathbb P\left(X_j=1\right)\mathbb P\left(X_{j+1}=1\right).</math></center>
Il reste qu'en vertu du [[Indépendance (probabilités)#Lemme de regroupement|lemme de regroupement]], les familles <math>(X_{2n})_{n\ge 1}</math> et <math>(X_{2n+1})_{n\ge 0}</math> sont deux familles de variables de Bernoulli indépendantes. Posons
<center><math>P_n(\omega)=\tfrac{X_2(\omega)+X_4(\omega)+\dots+X_{2n}(\omega)}n,\quad I_n (\omega)=\tfrac{X_1(\omega)+X_3(\omega)+\dots+X_{2n-1}(\omega)}n,</math></center>
et considérons les ensembles
<center><math>\begin{align}
\Omega_m^{(b)}&=\left\{\omega\in[0,1[\ \left|\ \lim_n\ F_m(n,\omega)=b^{-2}\right.\right\},\\
\Omega_{0,m}&=\left\{\omega\in[0,1[\ \left|\ \lim_n\ P_{n}(\omega)=b^{-2}\right.\right\},\\
\Omega_{1,m}&=\left\{\omega\in[0,1[\ \left|\ \lim_n I_{n}(\omega)=b^{-2}\right.\right\}.
\end{align}
</math></center>
Ainsi, il découle de la loi forte des grands nombres que les deux ensembles <math>\Omega_{0,m}</math> et <math>\Omega_{1,m}</math> ont une mesure de Lebesgue égale à 1. Comme
<center><math>
\left|F_m(2n+1)-\tfrac{2n}{2n+1}F_m(2n)\right|=\frac{|X_{2n+1}|}{2n+1}\le\frac1{2n+1},
</math></center>
la convergence de <math>F_m(2n)</math> vers une limite ''l'' implique successivement la convergence de <math>F_m(2n+1)</math> puis la convergence de <math>F_m(n)</math> vers cette même limite ''l''.
On voit par ailleurs que
<center><math>
F_m(2n)=\tfrac{I_n+P_n}2.
</math></center>
Tout cela combiné entraîne que si <math>\omega\in\Omega_{0,m}\cap\Omega_{1,m},</math> alors <math>\omega\in\Omega_m^{(b)},</math> ou bien encore :
<center><math>\Omega_{0,m}\cap\Omega_{1,m}\subset \Omega_m^{(b)}.</math></center>
En vertu de l'[[inégalité de Boole]], <math>\mathbb{P}(\Omega_{0,m}\cap\Omega_{1,m})=1,</math> donc
<center><math>\mathbb{P}\left(\Omega_m^{(b)}\right)=1.</math></center>
Pour un mot ''m'' de longueur ''k'' strictement supérieure à 2, le raisonnement est très analogue, faisant intervenir des variables de Bernoulli :
<center><math>X_j=1_{(\varepsilon_j,\dots,\varepsilon_{j+k-1})=m},</math></center>
de paramètre 1/''b<sup>k </sup>'', non indépendantes, mais telles que les familles <math>X^{(r)}=(X_{kn+r})_{n\ge 0}</math> sont des familles de variables de Bernoulli indépendantes, ceci pour <math>1\le r\le k.</math> On définit alors, pour <math>1\le r\le k</math>, des sous ensembles <math>\Omega_{r,m}</math> de [0, 1[, où les moyennes des termes de la famille <math>X^{(r)}</math> convergent, qui sont, comme précédemment, de mesure 1 en vertu de la loi forte des grands nombres, et pour lesquels une inclusion
<center><math>\bigcap_{1\le r\le k}\Omega_{r,m}\subset \Omega_m^{(b)}</math></center>
est encore vérifiée. On conclut alors, à nouveau, que
<center><math>\mathbb{P}\left(\Omega_m^{(b)}\right)=1.</math></center>
Comme le langage<ref name="lothaire"/> <math>A^{\star}</math> ({{c.-à-d.}} l'ensemble des mots finis ''m'' écrits à l'aide de l'alphabet à ''b'' symboles ''A'') est un ensemble dénombrable, et comme l'ensemble <math>\mathcal{N}_b</math> des nombres réels normaux en base ''b'' appartenant à [0, 1[ s'écrit :
<center><math>\mathcal{N}_b=\bigcap_{m\in A^{\star}}\Omega_m^{(b)},</math></center>
▲on en déduit<ref>Car l'intersection dénombrable d'[[Événement (probabilités)|événements]] de probabilités 1 est encore un événement de probabilité 1, voir la page « [[Inégalité de Boole]] ».</ref> que :
<center><math> \mathbb{P}\left(\omega\text{ est normal en base }b\right)=\mathbb{P}\left(\mathcal{N}_b\right)=1,</math></center>
puis que :
<center><math> \mathbb{P}\left(\omega\text{ est normal}\right)=\mathbb{P}\left(\bigcap_{b\ge 2}\mathcal{N}_b\right)=1.</math></center>
Ainsi, presque sûrement (au sens de la mesure de Lebesgue), tout nombre est normal.}}
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