« Nombre p-adique » : différence entre les versions

*{{Ancre|EqAlg}}La '''résolution d'équations algébriques''' utilise de manière essentielle le [[lemme de Hensel]] ; celui-ci affirme en particulier que si un [[polynôme]] à coefficients dans <math>\Z_p</math> possède une [[racine simple]] dans <math>\Z_p/p\Z_p\simeq\Z/p\Z</math>, il en possède une dans <math>\Z_p</math>.

**Ainsi, 2 admet deux [[racine carrée|racines carrées]] dans <math>\Z/7\Z</math> (à savoir 3 et 4) ; il en possède donc deux (opposées) dans <math>\Z_7</math>. Partant de <math>u_0=3</math>, la [[méthode de Newton]] appliquée au polynôme <math>X^2-2</math> (c'est-à-dire la suite définie par <math>u_{n+1}=u_n-\frac{u_n^2-2}{2u_n}</math>) donne <math>u_2=193/132</math>, qui est dans <math>\Z_7</math> une valeur approchée d'une racine de 2 à <math>7^4</math> près ; on en déduit les [[Valeur approchée|valeurs approchées]] des racines, <math>\ldots 213_7</math> et <math>\ldots 454_7</math> ; on aurait pu aussi les obtenir chiffre par chiffre, en résolvant successivement les équations <math>(3+7x)^2=2\mod 7^2</math>, d'où <math>x=1</math>, puis <math>(10+49y)^2=2\mod 7^3</math>, etc.<ref>{{Harvsp|Neukirch|1991|p=164-165}}.</ref>{{,}}<ref name=Barre>{{Lien web|url=http://images.math.cnrs.fr/Et-si-les-nombres-pouvaient-etre.html|titre=Et si les nombres pouvaient être infinis à gauche de la virgule plutôt qu’à droite...|auteur=Sylvain Barré|site=[[Images des maths]]|mois=4|year=2009}}.</ref>.

 

== Propriétés ==