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===Cas où ''n'' n'est pas premier===
Étudions d'abord le cas où ''n ''est de la forme ''p{{r}}'', pour un nombre premier ''p ''et un entier ''r ''≥ 2 (le cas ''r ''= 1 vient d'être étudié). DeuxLe configurationsgroupe sedes présententunités de ℤ/''p{{r}}''ℤ est alors toujours cyclique, sauf si ''p'' = 2 et ''r'' ≥ 3<!--C'est bien 3 car pour r=2, 2{{exp|''r''–2}}=1-->. Plus précisément :
* ''Si p ''= 2 ''(et r ''≥ 2''), le groupe des unitésinversibles de ''ℤ/''p{{r}}''ℤ ''est le [[Produit direct (groupes)#Produit direct interne d'une famille finie de sous-groupes|produit direct interne]] du sous-groupe d'ordre ''2 ''engendré par la classe de'' –1 ''et du sous-groupe d'ordre ''2{{exp|''r''–2}} ''engendré par la classe de'' 5.
* ''Si p ''≠ 2, ''le groupe des unitésinversibles est cyclique.''
{{Démonstration/début|titre=Résumé de démonstration<ref>Pour plus de détails, voir ''par exemple'' {{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Groupe des inversibles des entiers modulo n|ce devoir corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=}}</ref>}}
{{Démonstration/début}}
*Cas ''p'' = 2 (et ''r'' ≥ 2) : on démontre par récurrence que<center><math>\forall k\in\N\quad5^{2^k}\equiv1+2^{k+2}\bmod{2^{k+3}}</math>,</center>ce qui prouve à la fois que la classe de 5 est d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] 2{{exp|''r''–2}} et que les deux sous-groupes engendrés respectivement par la classe de 5 et celle de –1 ont une intersection [[Groupe trivial|triviale]]. Comme le produit de leurs ordres, 2{{exp|''r''–1}} = φ(2{{exp|''r''}}), est l'ordre du groupe, ce groupe est donc leur produit direct interne.
* '''Si ''p ''= 2 et ''r ''≥ 2, le groupe des unités est le produit direct interne du sous-groupe d'ordre 2 engendré par la classe de –1 et du sous-groupe d'ordre 2{{exp|''r''–2}} engendré par la classe de 5.'''
*Cas ''p'' ≠ 2 : on démontre par récurrence que<center><math>\forall k\in\N\quad(1+p)^{p^k}\equiv1+p^{k+1}\bmod{p^{k+2}}</math>,</center>ce qui prouve que la classe de 1 + ''p'' est d'ordre ''p''{{exp|''r''–1}}. Par ailleurs, puisque [[#Cas où n est premier|(ℤ/''p''ℤ)* est cyclique]], il existe un entier dont l'[[ordre multiplicatif]] modulo ''p'' est égal à ''p'' – 1. Sa classe ''a ''modulo ''p{{r}}'' est alors un élément de (ℤ/''p{{r}}''ℤ){{exp|×}} d'ordre multiple de ''p'' – 1, donc ''a'' possède une puissance ''b'' d'ordre ''p'' – 1. L'[[Ordre (théorie des groupes)#Ordre d'un produit|ordre du produit]] ''c ''= ''b''({{surligner|''p ''+ 1}}) est alors égal aux produit des ordres, (''p'' – 1)''p{{exp|r''–1}} = φ(''p{{r}}''), qui est l'ordre du groupe. Ce groupe est donc engendré par ''c''.
::''La classe de ''5 ''est d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''2{{exp|''r''–2}}.
Cela résulte de l'égalité suivante, que l'on démontre par récurrence sur ''k'' :
<center><math>\forall k\in\N\quad\exists\lambda\in\N\quad 5^{2^k}=1+2^{k+2}\lambda\quad\text{avec}\quad\lambda\quad\text{impair}.</math></center>
Pour ''k'' = 0, l'égalité est vraie avec λ = 1.
Supposons le résultat vrai pour ''k'' et montrons-le pour ''k'' + 1
<center><math>5^{2^{k+1}}=\left(5^{2^k}\right)^2=\left(1+2^{k+2}\lambda\right)^2=1+2^{k+3}(\lambda+2^{k+1}\lambda^2).</math></center>
::''Le groupe des unités est le produit direct interne des deux sous-groupes engendrés par les classes de ''5 ''et ''–1.
Modulo 4, toutes les puissances de 5 sont congrues à 1 donc pas à –1. ''{{lang|la|A fortiori}}'', modulo 2{{exp|''r''}} pour ''r ''≥ 2, la classe de –1 n'est pas une puissance de celle de 5. L'intersection des sous-groupes engendrés par ces deux classes est donc réduite au neutre. Le produit de leurs ordres est égal à 2{{exp|''r''–1}} = φ(2{{exp|''r''}}), qui est l'ordre du groupe. Ce groupe est donc leur produit direct interne.
* '''Si ''p ''≠ 2, le groupe des unités est cyclique.'''
La démonstration est en partie analogue à la précédente.
::''La classe de p ''+ 1 ''est d'ordre p''{{exp|''r''–1}}.
Cela résulte de l'égalité suivante, que l'on démontre par récurrence sur ''k'' :
<center><math>\forall k\in\N\quad\exists\lambda\in\N\quad (1+p)^{p^k}=1+p^{k+1}\lambda\quad\text{avec}\quad\lambda\equiv1\bmod p</math>.</center>
Pour ''k ''= 0, l'égalité est vraie avec λ = 1. Supposons la propriété vraie à l'ordre ''k'' et suggérons la façon de la prouver à l'ordre ''k'' + 1. La [[formule du binôme de Newton]] permet de montrer (en utilisant, si ''k'' = 0, l'imparité de ''p'') qu'il existe un entier ''m'' tel que
<center><math>(1+p)^{p^{k+1}}=\left((1+p)^{p^k}\right)^p =\left(1+p^{k+1}\lambda\right)^p=1+p^{k+2}(\lambda+pm).</math></center>
:: ''Le groupe des unités contient un élément d'ordre p'' – 1.
Le groupe [[#Cas où n est premier|(ℤ/''p''ℤ)* est cyclique d'ordre ''p'' – 1]]. Il existe donc un entier dont l'[[ordre multiplicatif]] modulo ''p ''est égal à ''p'' – 1. Sa classe ''a ''modulo ''p{{r}} ''est alors un élément de (ℤ/''p{{r}}''ℤ)* d'ordre multiple de ''p'' – 1, donc ''a ''possède une puissance ''b'' d'ordre ''p'' – 1.
:: ''Le groupe des unités est cyclique''
Comme les éléments ''b ''et {{surligner|''p ''+ 1}} commutent et sont d'ordres premiers entre eux, l'[[Ordre (théorie des groupes)#Ordre d'un produit|ordre du produit]] ''c ''= ''b''({{surligner|''p ''+ 1}}) est égal aux produit des ordres, (''p'' – 1)''p{{exp|r''–1}} = φ(''p{{r}}''), qui est l'ordre du groupe. Ce groupe est donc engendré par ''c''.
{{Démonstration/fin}}
Pour ''p ''premier et ''r ''entier naturel, le groupe des unités de ℤ/''p{{r}}''ℤ est donc toujours cyclique, sauf si ''p ''= 2 et ''r ''≥ 3<!--C'est bien 3 car pour r=2, 2{{exp|''r''–2}}=1-->.
Le cas général se ramène aux précédents grâce au théorème fondamental de l'arithmétique. En effet, d'après le théorème chinois :
* ''Soient n et m deux entiers premiers entre eux non nuls, le groupe des unitésinversibles de ''ℤ/''nm''ℤ ''est isomorphe au [[produit direct (groupes)|produit direct]] des groupes des unités de'' ℤ/''n''ℤ ''et de ''ℤ/''m''ℤ.
En particulier, (ℤ/''n''ℤ)*{{exp|×}} est cyclique si et seulement si ''n '' = 4, ou une puissance d'un premier impair, ou le double d'une telle puissance<ref>{{Perrin1}}, {{p.|84}}.</ref>.
==Notes et références==
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