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« Loi de réciprocité quadratique » : différence entre les versions

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== Exemples ==
{{Ancre|Avec des nombres premiers}}
*Modulo ''q'' = 3, le seul carré non nul est (±1){{2}} = 1. La loi de réciprocité quadratique (jointe à sa première loi complémentaire) fournit donc, pour tout nombre premier ''p'' différent de 2 et 3, l'équivalence :<center><math>p\equiv1\operatorname{mod}3\Longleftrightarrow-3\text{ est un carré modulo }p.</math></center>Le sens ⇒<ref>La [[réciproque]] (⇐), utile dans la détermination des [[Nombre d'Eisenstein premier|nombres premiers d'Eisenstein]], peut se déduire de la [[Anneau factoriel|factorialité]] de [[Entier d'Eisenstein|ℤ[{{math|j}}]]].</ref> peut se démontrer plus directement<ref>Pour une preuve directe de l'équivalence, {{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques#Exercice 4-11|l'exercice corrigé 4-11 de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=voir par exemple}}</ref> : si ''p'' ≡ 1 mod 3, pour montrer que –3 est un carré modulo ''p'', il suffit de trouver dans [[Anneau Z/nZ#Cas où ℤ/nℤ est un corps|ℤ/''p''ℤ]] un élément ''t'' solution d'une [[Équation du second degré#Discriminant|équation du second degré {{nobr|1=''at''{{2}} + ''bt + c'' = 0}} de discriminant ''b''{{2}} – 4''ac'']] égal à –3. En effet, on aura alors –3 ≡ (''b'' + 2''at''){{2}} (mod ''p'').
*Modulo ''q'' = 5, les carrés non nuls sont (±1){{2}} = 1 et (±2){{2}} ≡ –1. La loi de réciprocité quadratique fournit donc, pour tout nombre premier ''p'' différent de 2 et 5, l'équivalence<ref>Pour une preuve directe de cette équivalence, dans le même esprit que la précédente, {{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques#Exercice 4-12|l'exercice corrigé 4-12 de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=voir par exemple}}</ref> :<center><math>p\equiv\pm1\operatorname{mod}5\Longleftrightarrow5\text{ est un carré modulo }p.</math></center>Mais dès 1775, [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], parmi ses nombreux cas particuliers de la loi de réciprocité — fruits de son étude des [[Forme quadratique binaire|formes quadratiques binaires]] — démontra le sens direct<ref>{{Article|auteur=J.-L. Lagrange|titre=Recherches d'arithmétique (suite)|revue=Mémoires de l'[[Académie royale des sciences de Prusse|Académie de Berlin]]|year=1775|page=323-356}} rééd. {{Ouvrage|auteur=[[Joseph-Alfred Serret]]|titre=Œuvres de Lagrange|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|année=1869|volume=III|page=759-795|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f760.image}}.</ref> (⇒) et étendit la réciproque (⇐)<ref>Cette réciproque, utile dans la [[Anneau des entiers de Q(√5)#Détermination des éléments irréductibles de Z.5Bφ.5D|détermination des irréductibles de ℤ[φ]]], peut aussi se déduire de la [[Anneau des entiers de Q(√5)#Existence|factorialité de cet anneau]].</ref> au cas où ''p'' n'est pas premier<ref>{{Article|auteur=J.-L. Lagrange|titre=Recherches d'arithmétique|revue=Mémoires de l'Académie de Berlin|year=1773|page=265-312}} ({{Harvsp|Serret|1869|texte=''Œuvres'', III|p=695-758}}, {{Lire en ligne|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f696.image}}), établit plus précisément que {{Citation|les diviseurs impairs des nombres de la forme ''t''{{2}} – 5''u''{{2}} ou 5''u''{{2}} – ''t''{{2}} sont en même temps de chacune de ces deux formes {{Nobr|''y''{{2}} – 5''z''{{2}},}} 5''z''{{2}} – ''y''{{2}}.}}</ref>. Gauss, en préambule à sa première démonstration de la loi générale, fit de même<ref>{{Harvsp|Gauss|1807|texte=Gauss 1801|loc=§ 123 et 121}}.</ref>.▼
{{Démonstration/début|titre=Preuve directe}}Sens ⇒. Si ''p'' ≡ 1 mod 3, il existe, dans le [[Anneau ℤ/nℤ#Groupe des unités|groupe (ℤ/''p''ℤ)*]], un élément ''t'' d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] 3 : on peut par exemple prendre, [[Théorème des deux carrés de Fermat#Résultats connexes|comme Euler]], ''t = x''{{exp|(''p''–1)/3}} où ''x'' est un élément du groupe tel que ''x''{{exp|(''p''–1)/3}} ≠ 1 (il existe de tels ''x'' puisque (''p'' – 1)/3 < ''p'' – 1, et l'on peut même choisir, puisque [[Anneau ℤ/nℤ#Cas où n est premier|ce groupe est cyclique]], un [[Groupe cyclique|générateur]]), ou encore, invoquer le [[Théorème de Cauchy (groupes)|théorème de Cauchy sur les groupes]]. Puisque {{Nobr|1=[[Série géométrique#Terme général|''t''{{2}} + ''t'' + 1]] = (''t''{{3}} – 1)/(''t'' – 1) = 0}} et que le discriminant de cette équation vaut –3, l'objectif est atteint.
 
Sens ⇐. Si –3 est le carré d'un élément ''r'' dans le corps ℤ/''p''ℤ, on pose ''t'' = (''r'' – 1)/2. On vérifie que ''t''{{2}} + ''t'' + 1 = 0, et l'on en déduit que ''t'' est différent de 0 et de 1, et que ''t''{{3}} – 1 = (''t''{{2}} + ''t'' + 1)(''t'' – 1) = 0, de sorte que le groupe (ℤ/''p''ℤ)* contient un élément d'ordre 3 : par [[Théorème de Lagrange sur les groupes|un théorème de Lagrange]], on a donc ''p'' ≡ 1 mod 3.
{{Démonstration/fin}}
 
▲*Modulo ''q'' = 5, les carrés non nuls sont (±1){{2}} = 1 et (±2){{2}} ≡ –1. La loi de réciprocité quadratique fournit donc, pour tout nombre premier ''p'' différent de 2 et 5, l'équivalence :<center><math>p\equiv\pm1\operatorname{mod}5\Longleftrightarrow5\text{ est un carré modulo }p.</math></center>Mais dès 1775, [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], parmi ses nombreux cas particuliers de la loi de réciprocité — fruits de son étude des [[Forme quadratique binaire|formes quadratiques binaires]] — démontra le sens direct<ref>{{Article|auteur=J.-L. Lagrange|titre=Recherches d'arithmétique (suite)|revue=Mémoires de l'[[Académie royale des sciences de Prusse|Académie de Berlin]]|year=1775|page=323-356}} rééd. {{Ouvrage|auteur=[[Joseph-Alfred Serret]]|titre=Œuvres de Lagrange|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|année=1869|volume=III|page=759-795|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f760.image}}.</ref> (⇒) et étendit la réciproque (⇐)<ref>Cette réciproque, utile dans la [[Anneau des entiers de Q(√5)#Détermination des éléments irréductibles de Z.5Bφ.5D|détermination des irréductibles de ℤ[φ]]], peut aussi se déduire de la [[Anneau des entiers de Q(√5)#Existence|factorialité de cet anneau]].</ref> au cas où ''p'' n'est pas premier<ref>{{Article|auteur=J.-L. Lagrange|titre=Recherches d'arithmétique|revue=Mémoires de l'Académie de Berlin|year=1773|page=265-312}} ({{Harvsp|Serret|1869|texte=''Œuvres'', III|p=695-758}}, {{Lire en ligne|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f696.image}}), établit plus précisément que {{Citation|les diviseurs impairs des nombres de la forme ''t''{{2}} – 5''u''{{2}} ou 5''u''{{2}} – ''t''{{2}} sont en même temps de chacune de ces deux formes {{Nobr|''y''{{2}} – 5''z''{{2}},}} 5''z''{{2}} – ''y''{{2}}.}}</ref>. Gauss, en préambule à sa première démonstration de la loi générale, fit de même<ref>{{Harvsp|Gauss|1807|texte=Gauss 1801|loc=§ 123 et 121}}.</ref>.
 
{{Démonstration/début|titre=Preuve directe}}
Sens ⇒<ref>Preuve de Lagrange et Gauss, présentée ici dans un style plus moderne.</ref>. Dans les deux cas (''p'' congru modulo 5 à 1 ou à –1), pour montrer que 5 est un carré modulo ''p'', il suffit, comme ci-dessus, de trouver dans ℤ/''p''ℤ un élément ''t'' satisfaisant à une équation du second degré de discriminant égal à 5.
*Si ''p'' ≡ 1 (mod 5), on montre comme ci-dessus qu'il existe dans (ℤ/''p''ℤ)* un élément ''y'' d'ordre 5 donc tel que ''y''{{4}} + ''y''{{3}} + ''y''{{2}} + ''y'' + 1 = 0. En posant ''t = y'' + 1/''y'', on obtient ''t''{{2}} + ''t'' – 1 = 0 et l'objectif est atteint<ref>Voir aussi la fin de {{Article|lang=la|id=E449|titre=Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia ([http://eulerarchive.maa.org/pages/E449.html E449])|revue=Novi Comment. [[Académie des sciences de Saint-Pétersbourg|Acad. Sci. Petrop.]]|vol=18|year=1774|p.=85-135|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E449.pdf}} (écrit en 1772).</ref>.
*Si ''p'' ≡ –1 (mod 5), il existe, dans le [[Corps fini#Exemple : les corps à p2 éléments|corps fini '''F'''{{ind|''p''{{2}}}}]], un élément ''y'' qui n'appartient pas à '''F'''{{ind|''p''}} = ℤ/''p''ℤ mais tel que ''y''{{5}} appartienne à ce [[sous-corps]] (on peut même faire en sorte que ''y''{{5}} = 1<ref>On peut alors conclure plus vite, exactement comme dans le premier cas. En effet, avec ce choix plus précis, ''y''{{exp|''p''+1}} = 1 donc ''y'' + 1/''y'' appartient bien à '''F'''{{ind|''p''}} car il est fixe par l'[[automorphisme de Frobenius]].</ref>, comme précédemment). En choisissant une [[Base (algèbre linéaire)|base]] du [[Espace vectoriel fini|'''F'''{{ind|''p''}}-espace vectoriel '''F'''{{ind|''p''{{2}}}}]] de la forme (1, ''x'') et en écrivant que la seconde coordonnée de ''y''{{5}} est nulle, on obtient encore une équation du second degré de discriminant 5 et à racines dans '''F'''{{ind|''p''}} : par exemple, en notant (''u'', ''v'') les coordonnées de ''y''{{2}} dans la base (1, ''y'') — donc ''v'' ≠ 0<ref>Lagrange et Gauss choisissent arbitrairement une base (1, ''x'') telle que, au contraire, ''x''{{2}} appartienne à '''F'''{{ind|''p''}}.</ref> — et ''t = u''/''v''{{2}}, on trouve ''t''{{2}} + 3''t'' + 1 = 0.
 
Sens ⇐. On suppose qu'il existe un élément ''r'' de ℤ/''p''ℤ dont le carré vaut 5. On forme alors ''t'' = (''r'' – 1)/2 et l'on vérifie que ''t''{{2}} + ''t'' – 1 = 0. Comme l'équation ''y''{{2}} – ''ty'' + 1 = 0 est à coefficients dans '''F'''{{ind|''p''}}, elle a une solution ''y'' dans '''F'''{{ind|''p''}} ou dans '''F'''{{ind|''p''{{2}}}}. Une telle solution ''y'' est non nulle et l'on a : ''t = y'' + 1/''y''. De l'égalité (''y'' + 1/''y''){{2}} + (''y'' + 1/''y'') – 1 = 0, on déduit que ''y''{{4}} + ''y''{{3}} + ''y''{{2}} + ''y'' + 1 = 0, donc que ''y'' ≠ 1 et que ''y''{{5}} – 1 = 0. Il existe donc un élément d'ordre 5 dans '''F'''{{ind|''p''}} ou dans '''F'''{{ind|''p''{{2}}}}. D'après [[Théorème de Lagrange sur les groupes|un théorème de Lagrange]], 5 divise ''p'' – 1 ou ''p''{{2}} – 1. Autrement dit, ''p'' est congru à 1 ou à –1 modulo 5.
{{Démonstration/fin}}
*Déterminons si 219 est un carré modulo 383<ref>{{Harvsp|Apostol|1976|p=186-187}}, {{Lang|en|Example 1}}.</ref>. La [[Fonction multiplicative|multiplicativité]] du symbole de Legendre montre que :{{Retrait|<math>\left(\frac{219}{383}\right)=\left(\frac3{383}\right)\left(\frac{73}{383}\right)</math>.}}Le théorème fondamental permet de simplifier les deux facteurs :{{Retrait|<math>\left(\frac3{383}\right)=(-1)^{2\times382/4}\left(\frac{383}3\right)=-\left(\frac{-1}3\right)\quad\text{et}\quad\left(\frac{73}{383}\right)=(-1)^{72\times 382/4}\left(\frac{383}{73}\right)=+\left(\frac{18}{73}\right)</math>.}}À nouveau par multiplicativité du symbole de Legendre, on simplifie encore le second facteur :{{Retrait|<math>\left(\frac{18}{73}\right)=\left(\frac2{73}\right)\left(\frac{3^2}{73}\right)=\left(\frac2{73}\right)</math>.}}On conclut à l'aide des deux lois complémentaires : comme <math>3\not\equiv1\operatorname{mod}4</math> et <math>73\equiv1\operatorname{mod}8</math>,{{Retrait|<math>\left(\frac{219}{383}\right)=-\left(\frac{-1}3\right)\left(\frac2{73}\right)=-(-1)1=1</math>.}}Par conséquent, 219 est un carré modulo 383.
*Déterminons modulo quels nombres premiers <math>p>3</math> l'entier <math>3</math> est un carré<ref>{{Harvsp|Apostol|1976|p=187}}, {{Lang|en|Example 2}}.</ref>. D'après le théorème fondamental,{{Retrait|<math>\left(\frac3p\right)=(-1)^{(3-1)(p-1)/4}\left(\frac p3\right)=(-1)^{(p-1)/2}\left(\frac p3\right)</math>,}}or <math>\left(\frac p3\right)</math> dépend de <math>p\operatorname{mod}3</math> et <math>(-1)^{(p-1)/2}</math> dépend de <math>p\operatorname{mod}4</math>. On trouve ainsi que<center><math>3\text{ est un carré modulo }p\Longleftrightarrow p\equiv\pm1\operatorname{mod}12.</math></center>.
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