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« Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables) » : différence entre les versions

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Le '''théorème d'Euler''', nommé d'après le [[mathématicien]] [[suisse]] [[Leonhard Euler]], est un résultat d'[[analyse à plusieurs variables]] utile en [[thermodynamique]] et en [[économie (discipline)|économie]]. Il s'énonce comme suit.
 
{{énoncé|Soient {{math|''C''}} un [[Cône (analyse convexe)|cône]] de ℝ{{exp|''n''}} et {{math|''k''}} un [[Nombre réel|réel]].
{{énoncé|Une [[fonction de plusieurs variables]] ''{{math|f}} '': ℝ{{exp|''n''}} → ℝ{{exp|''m''}} [[différentiable]] en tout point est [[Fonction homogène|positivement homogène de degré {{math|''k''}}]] si et seulement si la relation suivante, appelée '''''identité d'Euler''''', est vérifiée :▼
<center><math>\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,\quad\sum_{i=1}^nx_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)=kf(x).</math></center>}}
 
▲{{énoncé|Une [[fonction de plusieurs variables]] ''{{math|''f}} '' : ℝ{{exp|''nC''}} →}} ℝ{{exp|''m''}} [[différentiable]] en tout point est [[Fonction homogène|positivement homogène de degré {{math|''k''}}]] si et seulement si la relation suivante, appelée '''''identité d'Euler''''', est vérifiée :
== Démonstration==
<center><math>\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,\quad\sum_{i=1}^nx_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)=kf(x)</math><ref>Pour une démonstration dans le cas particulier <math>m=1</math> (dont le cas général se déduit en raisonnant composante par composante), voir par exemple {{Ouvrage|titre=Calcul différentiel et intégral|sous-titre=fonctions réelles d'une ou de plusieurs variables réelles|auteur=Jacques Douchet|auteur2=Bruno Zwahlen|éditeur=[[PPUR]]|year=2006|url={{Google Livres|MXMX8GNXe7EC|page=301}}|page=301-302}}.</ref>.</center>}}
En remplaçant {{math|''x''}} par {{math|''tx''}} (pour tout {{math|''t ''> 0}} et tout {{math|''x''}} ∈ ℝ{{exp|''n''}}), l'identité d'Euler se réécrit :
 
==Généralisation==
<center><math>t\sum_{i=1}^nx_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)=kf(tx)</math></center>
Soient {{math|''E''}} et {{math|''F''}} deux {{math|''K''}} -[[Espace vectoriel normé|espaces vectoriels normés]] (<math>K=\R</math> ou <math>\C</math>), <math>C</math> un cône de <math>E</math> et {{math|''k''}} un élément de {{math|''K''}}.
{{énoncé|Une fonction différentiable <math>f:C\to F</math> est positivement homogène de degré <math>k</math> si et seulement si :
<center><math>\forall x\in C\quad\mathrm df_x(x)=kf(x)</math><ref>Pour une démonstration, voir par exemple {{Note autre projet|Wikiversité|Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité#Exercice 8|cet exercice corrigé|début=}}</ref>.</center>
}}
 
==Notes et références==
ou encore :
{{Références}}
 
<center><math>\frac{\rm d}{\rm dt}f(tx)=\frac ktf(tx).</math></center>
 
Cette [[Équation différentielle linéaire d'ordre un|équation différentielle linéaire d'ordre 1]] équivaut à
 
<center><math>f(tx)=t^kf(x),</math></center>
 
c'est-à-dire à l'homogénéité de ''{{math|f}}''.
 
== Voir aussi==
Ce document provient de « https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d%27Euler_(fonctions_de_plusieurs_variables) ».