« Milieu d'un segment » : différence entre les versions
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cela ne me semble pas être conforme à l'esprit du livre de jean dieudonné que de vouloir absolument utiliser la notion d'espace affine, plus par tradition pédagogique que par nécessité intellectuelle |
Ne pas reproduire cette maladresse de Dieudonné : heureusement (et fatalement), ce pdv est exotique et minoritaire, car la notion de milieu est plus naturelle (et plus générale !) en termes affines. |
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{{Voir homonymes|Milieu}}
[[Image:Midpoint.svg
==Symétrie centrale==
{{article détaillé|Symétrie centrale}}
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==Milieu, médiatrice, plan médiateur==
{{Voir aussi|Médiatrice|Plan médiateur|
L'ensemble des points du plan équidistants de deux points ''A'' et ''B'' constitue la [[médiatrice]] du segment [''AB'']. Le milieu du segment [''AB''] peut donc être défini comme l'[[Intersection (mathématiques)|intersection]] de la [[droite (géométrie)|droite]] (''AB'') avec la médiatrice du segment [''AB'']. Cette définition est intéressante, car elle permet de placer le milieu du segment [''AB''] par une [[construction à la règle et au compas]].
{{Théorème|Construction du milieu à la règle et au compas|Soient deux points du plan ''A'' et ''B''.
* On construit deux arcs de cercles, de centres respectifs ''A'' et ''B'' et de même rayon ''R''<sub>1</sub>. Soit ''P''<sub>1</sub> leur point d'intersection.
* On construit deux arcs de cercles, de centres respectifs ''A'' et ''B'' et de même rayon ''R''<sub>2</sub>. Soit ''P''<sub>2</sub> leur point d'intersection.
* La droite (''P''<sub>1</sub>''P''<sub>2</sub>) est la médiatrice du segment [''AB'']. Il suffit de tracer à la règle les droites (''P''<sub>1</sub>''P''<sub>2</sub>) et (''AB''), leur intersection est le milieu du segment [''AB''].|style=display:table}}
;Remarques
:* Les arcs de cercles doivent avoir des rayons supérieurs à la moitié de la longueur du segment, pour que leur intersection ne soit pas [[ensemble vide|vide]].
:* Il est en théorie possible de se contenter de la première étape en traçant les cercles en entiers : on obtient alors deux points d'intersection qu'il suffit de relier pour tracer la médiatrice. Cette méthode n'est toutefois pas toujours applicable concrètement, si le segment se trouve trop près du bord de la feuille de tracé par exemple.
Dans l'[[espace à trois dimensions]], le milieu d'un segment est l'intersection de ce segment avec son [[plan médiateur]].
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==Caractérisation vectorielle==
{{Voir aussi|Isobarycentre}}
:<math>\overrightarrow{
Cette égalité est équivalente à chacune des propriétés suivantes :
*<math>\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}</math> ;
*pour ''tout'' point {{mvar|O}}, on a : <math>\overrightarrow{OI}=\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)</math>.
== Coordonnées ==
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== Dans un triangle ==
{{Article détaillé|Triangle}}
Les milieux des trois côtés d'un triangle jouent un rôle important à plusieurs niveaux. Parmi les droites remarquables du triangle, on distingue notamment les médiatrices des côtés et les [[médiane (géométrie)|
Le [[théorème des milieux]] dans un triangle s'énonce ainsi :
{{Théorème|Théorème des milieux|Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.
La longueur du segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est égale à la moitié de celle du troisième côté.|style=display:table}}
Une [[réciproque]] de la première assertion du théorème existe :
{{Théorème|Si une droite passe par le milieu d'un des côtés d'un triangle et si elle est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.|style=display:table}}
▲{{Portail|Géométrie}}
[[Catégorie:Point]]
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