« Pi » : différence entre les versions
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→Autres définitions : ref+autre intégrale naturelle |
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La définition géométrique ci-dessus, historiquement la première et très intuitive, n'est pas la plus directe pour définir {{math|π}} mathématiquement en toute rigueur. Les ouvrages plus spécialisés<ref>Par exemple [[Jacqueline Lelong-Ferrand|J. Lelong-Ferrand]] et [[Jean-Marie Arnaudiès|J.-M. Arnaudiès,]] ''Cours de mathématiques'', {{t.|2}}, [[Dunod]] Université, {{4e|édition}}, 1977.</ref> définissent {{math|π}} par l'[[analyse réelle]], parfois à l'aide des [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]], mais introduites sans référence à la géométrie :
* Un choix fréquent est de définir {{math|π}} comme le double du plus petit nombre positif ''x'' tel que [[Fonction trigonométrique|cos]](''x'') = 0, où cos
| langue =en
|auteur=[[Walter Rudin]]
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| passage=183
| isbn =978-0-07085613-4
}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|titre=Toute l'Analyse de la Licence|sous-titre=Cours et exercices corrigés|auteur=J.-P. Escofier|éditeur=[[Dunod]]|date=2014|url={{Google Livres|3jK2AwAAQBAJ|page=562}}|page=562-563}}.</ref>, ou comme la [[Cosinus#Comme solution d'une équation différentielle|solution d'un problème de Cauchy]].
* Une autre définition est envisageable en considérant les propriétés exp(z + w) = exp(z).exp(w) et exp(0) = 1 qui découlent de la définition analytique de l’[[Fonction exponentielle#Caractérisation algébrique|exponentielle]] et qui font que l’application {{nobr|''t ''↦ exp(i''t'')}} est un [[Morphisme de groupes|morphisme]] de [[Groupe topologique|groupes topologiques]] de (ℝ, +) vers le [[Cercle unité#Cercle unité comme groupe|groupe (𝕌, ×) des complexes de module {{math|1}}]]. On démontre alors que l’ensemble des nombres réels {{mvar|t}} tels que {{math|1=exp(i''t'') = 1}} est de la forme {{mvar|a}}ℤ où {{mvar|a}} est un réel strictement positif. On pose alors {{math|1=π = ''a''/2}}<ref name="math93">{{Lien web
| url = http://www.math93.com/pi.html
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Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu’on a défini par la fonction {{nobr|''t ''↦ exp(i''t''),}} ou la fonction {{nobr|''t ''↦ exp(2i{{math|π}}''t'')}}.
* Mais on peut aussi définir {{math|π}} grâce au calcul intégral en posant :<br /><math> {\pi \over 4} =\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ {\rm d}x</math>,<br />ce qui revient à calculer (par exemple comme limite de [[Somme de Riemann|sommes de Riemann]]) l’aire d’un quart de disque de {{nobr|rayon 1}}, ou encore :<br /><math>\frac\pi2=\int_0^1 \frac{\mathrm dx}\sqrt{1-x^2}</math>,<br />ce qui revient à la définition ci-dessus de {{math|π/2}} comme le premier [[zéro d'une fonction|zéro]] de {{math|cos}}.
* Ou bien à l’aide du dénombrement, en notant <math>\varphi(n)</math> le nombre de couples d’entiers naturels (''k'', ''p'') tels que ''k''{{2}} + ''p''{{2}} ≤ ''n''{{2}} et en définissant : <br /> <math>\frac{\pi}4=\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi(n)}{n^2}</math>,<br />ce qui est une autre méthode pour calculer l'aire du quart de disque.
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