« Algèbre géométrique » : différence entre les versions

 

Pour se persuader de l’exactitude de ce résultat, on peut considérer des petits carrés, tous de même dimension, assemblés en rangées de 3. En accolant verticalement 4 rangées de 3, on obtient un rectangle de base 4 côtés de petits carrés et de hauteur 3. Ce rectangle, illustrée sur la figure de gauche, contient 4 × 3 = 12 petits carrés. Appliquer un quart de tour au rectangle ne modifie pas le nombre de petits carrés le composant, ce qui montre que le résultat de 4 × 3 correspond au nombre de petits carrés composant le rectangle associé à l’opération 3 × 4. Ce résultat ne dépend pas des valeurs 3 et 4, on peut choisir deux nombres entiers quelconques que l’on peut noter ''a'' et ''b''. L’égalité qui s’écrit de la manière suivante traduit ce que l’on appelle la [[commutativité]] de la multiplication :

<center><math>a \times b = b\times a.</math></center>

 

La commutativité de la multiplication n’est pas l’unique propriété s’illustrant à l’aide de la géométrie. La figure de droite peut se lire de deux manières différentes. Tout d’abord, le grand rectangle est la somme des aires des rectangles bleus et rouges. Le raisonnement précédent montre que son aire est égale à 9&nbsp;×&nbsp;3&nbsp;+&nbsp;9&nbsp;×&nbsp;4. On peut le voir aussi comme un unique rectangle, s'il l'on ne tient pas compte des couleurs, d’aire égale à 9&nbsp;×&nbsp;(3&nbsp;+&nbsp;4). Ces deux écritures correspondent donc au même nombre. Une fois encore, le résultat est vrai non seulement pour les nombres 9, 3 et 4, mais aussi pour n’importe quel ensemble de trois nombres, que l’on peut noter ''a'', ''b'' et ''c''. On obtient le résultat suivant, appelé [[distributivité]] de la multiplication par rapport à l’addition.

<center><math>a \times b + a\times c = a\times (b+c).</math></center>