« Pi » : différence entre les versions
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→Mémorisation de {{math|π}} : erreur ou licence poétique ? |
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Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu’on a défini par la fonction {{nobr|''t ''↦ exp(i''t''),}} ou la fonction {{nobr|''t ''↦ exp(2i{{math|π}}''t'')}}.
* Mais on peut aussi définir {{math|π}} grâce au calcul intégral en posant<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Michael Spivak]]|titre=Calculus|année=1967|url=https://archive.org/details/Calculus_643/page/n269|page=258}}.</ref> :<br /><math>\frac\pi2=\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\ {\rm d}x</math>,<br />ce qui revient à calculer (par exemple comme limite de [[Somme de Riemann|sommes de Riemann]]) l’aire d’un demi-disque de {{nobr|rayon 1}}, ou encore :<br /><math>\frac\pi2=\int_0^1 \frac{\mathrm dx}\sqrt{1-x^2}</math>,<br />[[Arc cosinus#Forme intégrale indéfinie|ce qui revient]] (par résolution de l'[[Équation différentielle d'ordre un à variables séparées#Cas particulier : l'équation autonome|équation différentielle {{math|1=''x''' = –{{sqrt|1 – ''x''{{2}}}}}}]]) à la définition ci-dessus de {{math|π/2}} comme le premier [[zéro d'une fonction|zéro]] de {{math|cos}}, .
* Ou bien à l’aide du dénombrement, en notant <math>\varphi(n)</math> le nombre de couples d’entiers naturels (''k'', ''p'') tels que ''k''{{2}} + ''p''{{2}} ≤ ''n''{{2}} et en définissant : <br /> <math>\frac{\pi}4=\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi(n)}{n^2}</math>,<br />ce qui est une autre méthode pour calculer l'aire du quart de disque.
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