« Radical imbriqué » : différence entre les versions

:<math>\sqrt{2+\sqrt3}=\sqrt{3\over2}frac32+\sqrt{1\over2}frac12</math> .

SoientSi {{mvar|a}} et {{mvar|b}} sont des [[Nombrenombre rationnel|rationnels]] positifs tels que <{{math>\|{{sqrt |''b</math>''}}}} soit [[Nombre irrationnel|irrationnel]] et (strictement) inférieur à {{mvar|a}}., pour pouvoir mettre

:<math>\sqrt c\pm\sqrt d\quad(c,d\in\Q_+)</math> ,

:<math>R:=\sqrt{a^2-b}</math>

:<math>c={\frac{a+R}\over2}~2\text{ et }~d={\frac{a-R}\over2}2</math> .

:<math>\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt c+\sqrt d</math> ,

:<math>\sqrt b-2\sqrt{cd}=c+d-a\in\Q</math> ,

c'est-à-dire :

:<math>c+d=a\quad\text{et}\quad b=4cd</math> .

{{mvar|c}} et {{mvar|d}} sont donc les deux solutions de l'[[équation du second degré]] :

:<math>x^2-ax+{b\over4}=0</math>frac , avec <math>\Deltab4=a^2-b>0</math> (par hypothèse),

{{c'est.-à-dire :d.}}

:<math>c={\frac{a+\sqrt{a^2-b}}\over2}2\quad\text{et}\quad d={\frac{a-\sqrt{a^2-b}}\over2}2</math> .