« Résidu quadratique » : différence entre les versions
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Pour ''p'' premier impair, tout entier non divisible par ''p'' qui est un carré mod ''p'' est aussi un carré mod ''p{{exp|r}}'' — en effet, le [[Anneau Z/nZ#Cas où n n'est pas premier|groupe des unités (ℤ/''p{{r}}''ℤ){{exp|×}} de ℤ/''p{{r}}''ℤ]] est [[Groupe cyclique|cyclique]], engendré par [α(1 + ''p'') mod ''p{{r}}''] où {{nobr|[α mod ''p'']}} est un générateur de (ℤ/''p''ℤ){{exp|×}}, or si [(α(1 + ''p'')){{exp|''s''}} mod ''p''] = [α{{exp|''s''}} mod ''p''] est un carré alors ''s'' est pair — et les résidus quadratiques mod ''p{{exp|r}}'' sont les ''p{{exp|k}}n'' avec ''k'' ≥ ''r'', ou [[Symbole de Legendre|(''n''/''p'')]] = 1 et ''k'' pair < ''r''.
== Localisation ==
* Soit <math>p</math> un nombre premier impair, alors le plus petit entier <math>n</math> qui n'est pas un résidu quadratique modulo <math>p</math> vérifie <math>n < 1 + \sqrt{p}</math><ref name = "boyer"/>;
* Soit <math>p</math> un nombre premier impair tel que <math>p \not \equiv 1 \mod 8</math>, alors le plus petit entier <math>n</math> qui n'est pas un résidu quadratique modulo <math>p</math> vérifie <math>n < p^{\frac25} + 12p^{\frac15}+33</math><ref name = "boyer"/>;
Plus généralement, il est [[Conjecture|conjecturé]] que pour tout <math>\varepsilon > 0</math>, pour tout nombre premier <math>p</math> assez grand le plus petit entier <math>n</math> qui n'est pas un résidu quadratique modulo <math>p</math> vérifie <math>n < p^\varepsilon</math><ref name = "boyer"/>.
== Autres propriétés ==
* Un entier <math>n</math> qui est résidu quadratique modulo tout nombre premier <math>p</math> sauf un nombre fini est un [[Carré parfait|carré dans ℤ]]<ref name = "boyer">{{Ouvrage|langue = français|auteur = Pascal Boyer|titre = Petit compagnon des nombres et de leurs applications|éditeur = Calvage et Mounet|pages totales = 648|année = 2019 | isbn = 978-2-916352-75-6|partie = I. Arithmétique de ℤ|numéro chapitre = 3.2|titre chapitre = Résidus quadratiques : applications|passage = 47-49}}.</ref>.
==Notes et références==
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