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== Formules de la projection de Mercator à partir d'une Terre sphérique ==
La construction d'une projection de Mercator est aujourd’hui rendue facile par le calcul intégral. On s'appuie dans ce qui suit sur le {{ouvrage|langue=fr|titre=Traité Vagnon de Navigation|édition=Vagnon-Fleurus Éditions 2015}}.<br>
On pose qu’un très petit triangle sphérique élémentaire sur la Terre (∆x, ∆y, ∆z) doit être semblable (conservation des angles) à un très petit triangle plat élémentaire de la carte (∆x’, ∆y’, ∆z’). La notion de '''cylindre''' (qui n'est pas plat!) est contre-productive. Elle est totalement absente du raisonnement.<br>
On exprime ∆x, ∆y, ∆z en fonction de leurs paramètres sur la Terre (rayon de la Terre, longitude et latitude). Il vient une intégrale en dØ/cosØ qui se résout par une des [[Fonction de Gudermann|fonctions de Gudermann]].<br>
Le résultat bien connu s’écrit sous la forme y= k ln [tg (Ø/2 + π/4)].
y est l’ordonnée sur la carte d’un point de la Terre de latitude Ø dont x sur la carte est la longitude sur la Terre.
=== ExempleDémonstration par un exemple d'application === ▼Les équations suivantes déterminent les [[coordonnée]]s ''x'' et ''y'' d'un point sur une carte de Mercator à partir de sa [[latitude]] φ et de sa [[longitude]] λ (avec λ<sub>0</sub> au centre de la carte) en faisant l'approximation d'une Terre modélisée par une sphère. Par construction de la projection de Mercator, la coordonnée ''y'' tend vers l'infini lorsque le point se rapproche des pôles, et que la valeur absolue de la latitude φ tend alors vers π/2.
Construire une carte c’est décider d’abord de sa largeur (et non de sa hauteur qui découle du calcul) . Il s’en déduit la relation x=UG (G longitude) entre l’abscisse x de la carte et la longitude. Elle détermine la constante U qui, par exemple pour la carte 0101H de largeur 998mm vaut 0,00462. Les degrés s’expriment en radian (1 radian = 3438 minutes d’arc). La constante k vaut alors (pour la 0101H): 3438 x 0,00462. L’ordonnée à reporter sur la carte d’un point de latitude 45° vaut avec Gudermann: y= 3438x0,00462 ln [tg (45°/2 + π/4)]= 139mm.
:<math>
Dans cet exemple la distance du parallèle 45° à l'équateur sur la 0101H on trouve présente une toute petite différence. La Terre n’est pas exactement une sphère.
\begin{matrix}
x &=& \lambda - \lambda_0 &\text{en général}& x \in [-\pi,\pi]
\\ y &=& \ln \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) \right]
\\ \ & =& \frac {1} {2} \ln \left( \frac {1 + \sin \varphi} {1 - \sin \varphi} \right)
\\ \ & =& \sinh^{-1} \left( \tan \varphi \right)
\\ \ & =& \tanh^{-1} \left( \sin \varphi \right)
\\ \ & =& \ln \left( \tan \varphi + \sec \varphi \right)&\quad\text{où}&\sec \varphi =\frac 1{\cos \varphi}
\end{matrix}
</math>
===La projection de Mercator n'est pas une projection un cylindre===
Cette dernière fonction est appelée [[fonction de Gudermann |fonction de Gudermann inverse]] :
C'est une erreur très répandue qu'on peut observer par soi-même.
[[File:Projecion sur un cylindre.png|thumb|right|400px|Hypothèse inexacte MERCATOR]]
À savoir:<br>
◊ on reproduit avec la règle et le compas la projection cylindrique avec ses parallèles 30 et 60 parce que faciles à déterminer. Ce qui montre sur la carte dépliée leur distance à l’équateur. Elle est (environ) dans un rapport de 1 à 3 (3,1)<br>
◊ on achète (Internet) un planisphère en projection de Marcator (le n° 0101H du Service Hydrographique de la Marine va très bien, tout autre planisphère convient) et on mesure en millimètres la distance à l’équateur de ces deux parallèles.<br>
Ils sont loin d’être dans le rapport cité (2,4 au lieu de 3 pour la 0101H). La projection de Mercator n’est donc pas une projection sur un cylindre. '''CQFD'''. C’est immédiatement évident.
:<math>
\begin{matrix}
\varphi &=& 2\tan^{-1} \left( e^y \right) - \frac{1} {2} \pi
\\ \ &=& \tan^{-1} \left( \sinh y \right)&\text{donc} & \varphi\in]-\pi/2,\pi/2[
\\ \lambda &=& x + \lambda_0
\end{matrix}
</math>
▲=== Exemple d'application ===
Soit la carte illustrant cet article (ayant une hauteur ''h'' = 724 et une largeur ''w'' = 679 (en pixels). La carte est centrée sur latitude 0, longitude 0. Le pixel 0,0 est en haut à gauche.
Pour obtenir la position du pixel horizontal représentant la longitude λ (en degrés), il suffit d'appliquer la formule donnée précédemment :
<math>x = w\times\frac{\lambda+180}{360}</math>.
Pour obtenir la position du pixel vertical de la latitude φ (en radians) :
<math>y = \frac{h}{2}-\frac{w}{2\pi}\ln\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi}{2}\right)\right)</math>
=== Démonstration ===
Puisqu'on utilise une projection cylindrique, x ne dépend que de λ et y ne dépend que de φ.
L'échelle Nord-Sud (en φ) doit être partout égale à l'échelle Est-Ouest (en λ), mais un degré de longitude ne fait pas la même taille aux pôles qu'à l'équateur. Le rapport des dérivées doit donc être égal au rapport de la longueur du parallèle par rapport à la longueur du méridien.
<math>\forall \varphi,\lambda\ : \frac{\frac{\partial x}{\partial \lambda}}{\frac{\partial y}{\partial \varphi}} = \frac{ 2\pi R \cos(\varphi)}{2 \pi R}</math>
Et puisque l'on choisit
<math>\frac{\partial x}{\partial \lambda} = 1</math><br />
On trouve
:<math>\frac{\partial y}{\partial \varphi} = \frac{1}{\cos(\varphi)} = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} + \varphi)} = \frac{1}{2\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2})\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2})} = \frac{\frac{1}{2}\frac{1}{\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2})^2}}{\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2})} = \frac{\frac{\partial(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2})}{\partial \varphi}}{\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2})}</math>
puis en intégrant
<math>y = \ln \left( \tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2}\right) \right)</math> ; cette fonction connue sous le nom de '''fonction de Mercator''' ou '''fonction des latitudes croissantes'''{{sfn|Picouet|2019|p=96}} correspond à l'inverse de la [[fonction de Gudermann]].
== Notes et références ==
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