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== Définitions ==
{{Voir|Distance (mathématiques)}}
Une distance sur un ensemble ''X'' est une fonction de [[produit cartésien|''X''×''X'']] dans l'ensemble des [[Nombre réel|nombres réels]] positifs ou nul<ref>{{Lien web |langue=fr |auteur=Jean-Luc Verley |titre=Espaces métriques |url=https://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-metriques/#i_28546 |site=www.universalis.fr |date= |consulté le=17 août 2020}}</ref>.
<center><math>d:X\times X\to\R^+</math></center>
qui satisfait les conditions suivantes pour tous ''x'', ''y'', ''z'' dans ''X'' :
# <math>d(x,~y) = 0\,</math> si et seulement si <math>x = y\,</math> (identité des indiscernables) ;
# <math>d(x,~y) = d(y,~x)\,</math> (symétrie) ;
# <math>d(x,~z) \le d(x,~y) + d(y,~z)\,</math> ([[inégalité triangulaire]]).
De ces trois propriétés, il découle que ''d'' est à valeurs [[nombre positif|positives ou nulles]] : pour tous ''x'' et ''y'' dans ''X'', ''d''(''x'', ''y'') ≥ 0.
Une distance ''d'' sur ''X'' est dite {{Lien|trad=Intrinsic metric|métrique intrinsèque|texte=intrinsèque}} si deux points quelconques ''x'' et ''y'' dans ''X'' peuvent être joints par un [[arc rectifiable]] de longueur arbitrairement proche de ''d''(''x'', ''y'').
: <math>d(x,~y) = d(x + a,~y + a)\,</math> quels que soient ''x'',''y'' et ''a'' dans ''X''.
Sur un groupe non commutatif on a les notions d'invariance à gauche et d'invariance à droite.
Si l'inégalité triangulaire est renforcée par
: <math>d(x,~z) \le \max(d(x,~y), d(y,~z))\,</math>
la distance est dite [[ultramétrique]].
=== Remarques ===
Ces conditions expriment les notions intuitives du concept de distance. Par exemple, que la distance entre des points distincts est strictement positive et que la distance de ''x'' à ''y'' est la même que la distance de ''y'' à ''x''. L'inégalité triangulaire signifie que la distance parcourue directement entre ''x'' et ''z'', n'est pas plus grande que la distance à parcourir en partant d'abord de ''x'' vers ''y'' puis de ''y'' vers ''z''. [[Euclide]] {{Fix|dans [[Éléments (Euclide)|ses travaux]]|date = août 2020
|message = [[Spécial:Diff/138441628|[réf. incomplète]]]
|infobulle = Un complément est souhaité pour cette référence
}} {{Douteux|date=août 2020|démontra}} que {{Pas clair|date=août 2020|la plus courte distance entre deux points est une droite}}, ce qui était l'inégalité triangulaire pour sa géométrie.
== Exemples ==
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