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« Série convergente » : différence entre les versions

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rv : WP:TI confus voire faux (car si a_n^{1/n} > 1 "apcr" la série diverge - ça va sans dire - mais si a_n^{1/n} < 1 "apcr" la série ne converge pas forcément) + les liens internes fournis suffisent ici.
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Chacune de ces règles utilise le principe de comparaison précédent et est détaillée dans l'article correspondant.
 
* '''[[Règle de d'Alembert]]'''<br />Soit <math>\sum u_n</math> une série à termes strictement positifs pour laquelle le rapport <math>\frac {u_{n+1}}{u_n}</math> tend vers une limite {{math|''L''}} . Dans ces conditions la série : converge si {{math|''L'' < 1}} ; diverge si {{math|''L'' > 1}} ; si {{math|1=''L'' = 1}} on ne peut pas conclure.<br />Il existe une [[règle de Raabe-Duhamel]] pour pousser l'étude plus loin dans le cas douteux ({{math|1=''L'' = 1}}).
* '''[[Règle de Cauchy]]'''<br />Si les termes <math>a_n\,</math> sont strictement positifs et s'il existe une constante {{math|''C'' < 1}} telle que <math>(a_n)^{\frac{1}{n}} \le C</math> , alors <math>\sum a_n</math> est convergente.
**converge si {{math|''L'' < 1}} ;
**diverge si {{math|''L'' > 1}} ;
**si {{math|1=''L'' = 1}} on ne peut pas conclure.
Il existe une [[règle de Raabe-Duhamel]] pour pousser l'étude plus loin dans le cas douteux ({{math|1=''L'' = 1}}).
 
* '''[[Règle de Cauchy]]'''<br />Supposant que les termes <math>a_n\,</math> sont strictement positifs, la règle de Cauchy nous assure la convergence ou la divergence dans les cas suivants :
{| class="wikitable centre"
|+
! colspan="2" |Convergence
! colspan="2" |Divergence
|-
|<math>(a_n)^{\frac{1}{n}} < 1 \; (\text{apcr})</math>
|<math>\text{lim} _{n \rightarrow +\infty} (a_n) ^ \frac{1}{n} < 1</math>
|<math>(a_n)^{\frac{1}{n}} > 1 \; (\text{apcr})</math>
|<math>\text{lim} _{n \rightarrow +\infty} (a_n) ^ \frac{1}{n} > 1</math>
|}
''apcr'' signifiant "à partir d'un certain rang", c'est-à-dire que la propriété est vérifiée <math>\forall n \geq n_0</math>, <math>n_0</math> étant un certain indice dans <math>\mathbb{N}</math>.
 
Les relations avec la limite supposent qu'elle existe. Les relations d'inégalité avec la limite sont un cas particulier (condition suffisante) des relations qualifiées dans le tableau d' "apcr".
 
On peut remarquer que, comme pour la règle de d'Alembert, rien ne peut être conclu via cette règle si les <math>(a_n)^{\frac{1}{n}}</math> tendent vers 1.
 
Les règles de d'Alembert et Cauchy sont liées dans le sens où l'on a lorsqu'elles existent <math>\text{lim}_{n\rightarrow +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \text{lim}_{n\rightarrow +\infty} (u_n)^\frac{1}{n}</math><ref>{{Ouvrage|langue=FR|prénom1=Augustin-Louis (1789-1857) Auteur du texte|nom1=Cauchy|titre=Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, par M. Augustin-Louis Cauchy,... 1re partie. Analyse algébrique|passage=59|date=1821|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8626657t|consulté le=2022-01-08}}</ref>
 
* '''Règle de [[comparaison série-intégrale]]'''<br /> Si <math>f\,</math> est une fonction positive [[fonction monotone|décroissante]] continue sur l'[[intervalle (mathématiques)|intervalle]] {{math|[1, ∞[}}, alors la série <math>\sum f(n)</math> et l'[[intégration (mathématiques)|intégrale]] <math>\int_1^{\infty} f(x)\, {\rm d}x</math> sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.
 
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* [[Test de condensation de Cauchy]]
* [[Test de convergence]]
 
== Notes et références ==
{{Références}}
 
{{Portail|analyse}}
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