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</math>
== DémonstrationsDémonstration ==
{{Ancre|Démonstration par récurrence}}
On peut démontrer la formule de l'énoncé [[Raisonnement par récurrence#Récurrence simple sur les entiers|par récurrence]]<ref>La démonstration classique est disponible sur [[Wikiversité]] {{infra|Voir aussi}}, ainsi qu'{{Note autre projet|wikiversité|Sommation/Exercices/Sommation de combinaisons#Exercice 5-9|cet exercice corrigé|début=une méthode plus originale dans}}</ref>{{,}}<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=LeTLSGUDc7o Binôme de Newton : Démonstration par récurrence en vidéo].</ref>.
Une preuve plus intuitive<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=PfxCvRZQIj0 Binôme de Newton : Démonstration par dénombrement en vidéo].</ref> utilise le fait que le [[coefficient binomial#Combinatoire et statistique|coefficient binomial]] <math>\textstyle {n \choose k}</math> est le nombre de parties à {{mvar|k}} éléments dans un ensemble à {{math|''n''}} éléments. Quand on développe l'expression
:<math>(x+y)^n=(x+y)(x+y)\cdots(x+y)\qquad (n \text{ fois})</math>,
on obtient une somme de monômes de la forme {{math|''x{{exp|j}}y{{exp|k}}''}} où {{mvar|j}} et {{mvar|k}} représentent respectivement le nombre de fois qu'on a choisi {{mvar|x}} ou {{mvar|y}} en développant. On a forcément {{math|1=''j = n – k''}}, puisqu'à chaque fois qu'on ne choisit pas {{mvar|y}}, on choisit {{mvar|x}}. Enfin, comme il y a <math>\textstyle {n \choose k}</math> manières différentes de choisir {{mvar|k}} fois la valeur {{mvar|y}} parmi les {{mvar|n}} expressions {{math|(''x + y'')}} multipliées ci-dessus, le monôme {{math|''x{{exp|n–k}}y{{exp|k}}''}} doit apparaître dans le développement avec le coefficient <math>\textstyle {n \choose k}</math>.
{{Boîte déroulante/début|titre=Démonstration par récurrence}}
On cherche à vérifier que la propriété <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \textstyle {n \choose k} a^{k}b^{n-k}</math> est vraie par récurrence <math>\forall n \in \mathbb{N} </math> et <math>\forall \{a,b\} \in \mathbb{A}^2 </math> tels que <math>ab=ba</math> (où <math>\mathbb{A} </math> est un anneau quelconque)
=== Initialisation ===
Si <math> n = 0 </math>
<math>(a+b)^0 = 1</math>
<math>\textstyle {0 \choose 0} a^{0}b^{0-0} = 1</math>
La propriété est donc bien initialisée
=== Hérédité ===
On suppose la propriété vraie jusqu'au rang <math> n </math>
<math> (a+b)^{n+1} = (a+b).(a+b)^{n} </math>
<math> \Rightarrow (a+b).\sum_{k=0}^{n} \textstyle {n \choose k} a^{k}b^{n-k} </math>
<math> \Rightarrow \left(\sum_{k=0}^{n} \textstyle {n \choose k} a^{k+1}b^{n-k}\right) + \left(\sum_{k=0}^{n} \textstyle {n \choose k} a^{k}b^{n+1-k}\right) </math>
on pose <math> p = k+1 </math>
<math> \Rightarrow \left(\sum_{p=1}^{n+1} \textstyle {n \choose p-1} a^{p}b^{n+1-p}\right) + \left(\sum_{k=0}^{n} \textstyle {n \choose k} a^{k}b^{n+1-k}\right) </math>
<math> \Rightarrow \left(\sum_{k=1}^{n} \left(\textstyle {n \choose k-1} + \textstyle {n \choose k}\right) a^{k}b^{n+1-k}\right) + \textstyle {n \choose 0}a^{0}b^{n+1} + \textstyle {n \choose n}a^{n+1}b^{0}</math>
<math> \Rightarrow \left(\sum_{k=1}^{n} \textstyle {n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}\right) + \textstyle {n+1 \choose 0}a^{0}b^{n+1} + \textstyle {n+1 \choose n+1}a^{n+1}b^{0}</math>
<math> \Rightarrow \left(\sum_{k=0}^{n+1} \textstyle {n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}\right)</math>
=== Conclusion ===
Avec les conditions données sur ''a'' et ''b'', la propriété <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \textstyle {n \choose k} a^{k}b^{n-k}</math> est vraie <math>\forall n \in \mathbb{N} </math> .
{{Boîte déroulante/fin}}
== Généralisations ==
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