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« Différentielle » : différence entre les versions

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Anne Bauval (discuter | contributions)
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Annulation de la modification de Patrick.Delbecq (d) J'ai bien pris soin de laisser le LaTeX là où la cohérence typo l'exigeait. Merci de cesser d'annuler mes améliorations.
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Patrick.Delbecq (discuter | contributions)
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Annulation de la modification de Anne Bauval (d)Les notations doivent être homogènes sur l'ensemble de l'article, pas paragraphe par paragraphe. Cela suffit Anne Bauval. Voir PDD.
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{{sources|date=décembre 2019}}
 
En [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] et [[analyse vectorielle|vectorielle]], on appelle '''différentielle''' d'ordre {{math|1}} d'une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] en un point {{mvar|<math>a}}</math> (ou [[dérivée]] de cette fonction au point {{mvar|<math>a}}</math>) la partie [[Application linéaire|linéaire]] de l'accroissement de cette fonction entre {{mvar|<math>a}}</math> et {{<math|''>a'' + ''h''}}</math> lorsque {{mvar|<math>h}}</math> tend vers {{math|0}}. Elle généralise aux fonctions de plusieurs variables la notion de nombre dérivé d'une fonction d'une variable réelle, et permet ainsi d'étendre celle de [[développement limité|développements limités]]. Cette différentielle n'existe pas toujours, et une fonction possédant une différentielle en un point est dite '''différentiable''' en ce point. On peut ensuite calculer des différentielles d'ordre supérieur à {{math|1}}.
 
On utilise la notation différentielle avec beaucoup d'efficacité dans le cadre du calcul d'approximations et du calcul de dérivées. Elle facilite la formule de la [[théorème de dérivation des fonctions composées|dérivée de la composée]]. Elle se révèle très pratique dans le changement de variable en [[calcul intégral]].
 
Dans l'approche de [[Leibniz]], la différentielle d'une fonction est son « accroissement infinitésimal », qui s'écrit comme une combinaison des accroissements infinitésimaux des différentes variables. Ainsi pour une fonction <math>f</math> des variables <math>x</math> et <math>y</math>, l'son accroissement infinitésimal <math>\mathrm{d} f</math> s'exprime sous la forme :
 
:<math>\mathrm{d} f = \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm{d} x + \frac{\partial f}{\partial y} \, \mathrm{d} y = p \, \mathrm{d} x + q \, \mathrm{d} y</math>
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Le calcul différentiel, pour les fonctions d'une seule variable, se confond avec la [[dérivée|dérivation]]. Soit <math>f</math> une fonction d'une variable réelle, à valeurs réelles ; on notera <math>y=f(x)</math> le résultat de l'application de <math>f</math>. Elle est dite dérivable en <math>a</math> lorsqu'il existe un réel, noté <math>f'(a)</math>, tel que pour tout réel <math>h</math> on ait :
 
:<math>f(a + h) = f(a) + f'(a)\,cdot h + h \,cdot \varepsilon(h)</math>
 
où <math>\varepsilon</math> est une fonction ayant une limite nulle en 0. <math>f'(a)</math> est alors appelé nombre dérivé de <math>f</math> en <math>a</math>. On résume souvent cela par la notation (dite [[notation de Landau]]) :
 
:<math>f(a + h) = f(a) + f'(a) \,cdot h + o(h).</math>
 
Intuitivement, ce calcul de limite, qui porte le nom de [[développement limité]] à l'ordre 1 pour la fonction <math>f</math> en <math>a</math>, signifie qu'en première approximation, pour <math>h</math> proche de 0, la valeur de <math>f(a + h)</math> est peu différente de celle de <math>f(a) + f'(a) \cdot h</math>. Notamment parmi les expressions [[Fonction affine|affines]] (c'est-à-dire de la forme <math>\alpha + \beta \cdot h</math>), c'est celle-ci qui donne la meilleure approximation de <math>f(a + h)</math>.
 
==== Introduction intuitive des notations du calcul infinitésimal ====
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=== Cas de la fonction réelle à deux variables ===
 
Si <math>f</math> est une fonction différentiable desur {{mvar|U}}<math>I</math> ([[Ouvert (topologie)|ouvert]] de <math>\R^2</math>) dans <math>\R</math>, alors <math>\mathrm{d} f = \tfrac{\partial f}{\partial x} \, \mathrm{d} x +\tfrac{\partial f}{\partial y} \, \mathrm{d} y</math>., Chacunechacune des fonctions <math>\tfrac{\partial f}{\partial x}</math> et <math>\tfrac{\partial f}{\partial y}</math> est elle-même une fonction de {{mvar|U}}<math>\R^2</math> dans <math>\R</math>. Si elles sont de [[Classe de régularité|classe C{{1}}]] (c'est-à-dire différentiables de différentielle continue) alors <math>\mathrm{d} f</math> est aussi différentiable et :
 
:<math>\mathrm{d} ^2 f
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où <math>\bigl(\tfrac{\partial }{\partial x} \, \mathrm{d} x + \tfrac{\partial }{\partial y} \, \mathrm{d} y \bigr)</math> devient un opérateur agissant sur <math>f</math>
 
Plus généralement, si <math>f</math> est de classe <math>C{{exp|''^n''}}</math> alors (formellement, dans l'[[algèbre sur un corps|algèbre]] des [[opérateur différentiel|opérateurs]]) :
 
:<math>\mathrm{d} ^n f = \left(\frac{\partial }{\partial x} \, \mathrm{d} x + \frac{\partial }{\partial y} \, \mathrm{d} y\right)^n f</math>
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|wikiversity titre=Différentiabilité
}}
* [[Homologie et cohomologie]]▼
* [[Dérivée directionnelle]]
* [[Dérivée extérieure]]
Ligne 237 ⟶ 238 :
* [[Fonction semi-lisse]]
* [[Forme différentielle]]
▲* [[Homologie et cohomologie]]
* [[Notations delta en sciences]]
*[[Règle du produit#Règle du produit dans des espaces vectoriels normés|Règle du produit dans des espaces vectoriels normés]]
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