« Extremum » : différence entre les versions

 

Cette notion est particulièrement utilisée en [[mathématiques]], où l'expression '''maximo-minimum''', introduite par [[Nicolas de Cues]], correspond à partir de [[Pierre de Fermat|Fermat]] et [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] aux extrêmes d'une [[courbe]] ou d'une [[Fonction (mathématiques)|fonction]], repérés par le fait que les [[dérivée]]s s'y annulent. Elle est aussi utilisée en physique, où le [[principe de moindre action]] est un principe extrémal ainsi que [[Euler]] l'a montré.

==== Cas d'une fonction d'une variable ====

{{Voir|Variations d'une fonction|Théorème de Fermat sur les points stationnaires|Test de la dérivée première|Test de la dérivée seconde}}

Dans le cas d'une fonction [[dérivable]] ''f'' d'une seule variable, si ''f'' possède un extremum local en un point de l''''ouvert''' de définition de ''f'', alors la dérivée de ''f'' en ce point est nulle.

 

Si ''f'' est dérivable sur l''''ouvert''' ''U'' et si, en un point <math>a\in U</math>, la dérivée de ''f'' s'annule en changeant de signe, alors ''f'' atteint un extremum local en <math>a</math>. Plus précisément, en supposant <math>f\,'(a) = 0</math> :

:et <math>f\,' \geq 0</math> sur <math>[a-\alpha,\, a]</math>, <math>f\,' \leq 0</math> sur <math>[a,\, a + \alpha]</math>,

:et <math>f\,' \leq 0</math> sur <math>[a-\alpha,\, a]</math>, <math>f\,' \geq 0</math> sur <math>[a,\, a + \alpha]</math>,

:alors ''f'' atteint un minimum local en <math>a</math>.

 

==== Cas d'une fonction de plusieurs variables ====

Si la fonction ''f'' atteint un extremum local en un point ''a'' de ''U'' où elle est [[différentielle|différentiable]], alors toutes ses [[dérivée partielle|dérivées partielles]] s'annulent en ''a''.

 

On suppose que ''f'' est deux fois dérivable en un point <math>a</math> de ''U''. Sa [[matrice hessienne]] en <math>a</math> est notée <math>\nabla^2 f(a) </math>, c'est-à-dire que <math>\nabla^2 f(a)_{i,j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a)</math> ; d'après le [[théorème de Schwarz]], cette matrice est [[Matrice symétrique|symétrique]].

* Si <math>\nabla f(a) = 0</math> et si <math>\nabla^2 f(a) </math> est [[matrice définie positive|définie négative]], alors ''f'' atteint un maximum local strict en <math>a</math>.

* Si <math>\nabla f(a) = 0</math> et si <math>\nabla^2 f(a) </math> est [[matrice définie positive|définie positive]], alors ''f'' atteint un minimum local strict en <math>a</math>.

 

Les conditions d'optimalité de ces problèmes sont présentées dans « [[Conditions d'optimalité]] ».