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* Si {{math|1=''a = b''}}, l'aire se calcule avec la formule suivante :{{Retrait|<math>A = 4\pi R^2,</math>}}où {{math|1=''R = a = b''}}.
* Lorsque l'axe de symétrierotation est le petit axe, l'ellipsoïde est aplati, son rayon polaire étant strictement inférieur à son rayon équatorial, et l'aire est donnée par la formule :{{Retrait|<math>A = 2\pi a^2 + \frac{\pi b^2}e\ln\left(\frac{1+e}{1-e}\right).</math>}}
* Lorsque l'axe de symétrierotation est le grand axe, l'ellipsoïde est allongé, son rayon polaire étant strictement supérieur à son rayon équatorial, et l'aire est donnée par la formule :{{Retrait|<math>A = 2\pi b^2 + \frac{2\pi ab}e\frac{\arcsin( e}e).</math>}}
{{Démonstration|contenu =
[[Surface de révolution#Propriétés métriques|L'aire est donnée par la formule]] :
{{Retrait|<math>A = 24\pi\int_0^{\pi/2}2\pi q \cos(\theta)\sqrt{q^2\sin^2(\theta)+p^2\cos^2(\theta)} \,\mathrm{ d}\theta</math>}}
donc à l'aide du [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] <math>u = \sin(\theta)</math> avec <math>\mathrm{d}u du = \cos(\theta)\mathrm{ d}\theta</math>,
{{Retrait|<math>A = 4\pi q \int_0^1\!\! \sqrt{q^2 u^2 + p^2 (1-u^2)}\ \mathrm{d}u = 4\pi q \int_0^1\!\! \sqrt{(q^2-p^2) u^2 + p^2}\ \mathrm{d}u.</math>}}
La suite des calculs dépend du signe de la différence {{math|''q''{{2}} – ''p''{{2}}}} pour appliquer les formules des [[primitives de fonctions irrationnelles]].
*Si {{math|''q'' > ''p''}} : avec les égalités {{math|1=''q = a''}} et {{math|1=''p = b''}}, l'intégrale s'écrit :{{Retrait|<math>\int_0^1\!\! \sqrt{b^2 + (a^2-b^2)u^2}\ \mathrm{d}u = \frac12\sqrt{a^2}frac a2+ \frac{b^2}{2\sqrt{a^2-b^2}}\operatorname{arsinhartanh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b\right)a</math>}}donc l'aire se réécrit :{{Retrait|<math>A = 2\pi a^2 + \frac{2\pi b^2}e\operatorname{arsinh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b\right).</math>}}Or les relations entre [[fonction hyperbolique|fonctions hyperboliques]] [[fonction réciproque|réciproques]] permettent d'écrire :{{Retrait|<math>\operatorname{arsinh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b\right) = \operatorname{artanh}\left(\frac{\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b}{\sqrt{\frac{a^2-b^2}{b^2}+1}}\right) = \operatorname{artanh}(e) = \frac12\ln\left(\frac{1+e}{1-e}\right).</math>}}Donc l'aire est donnée par la formule :{{Retrait|<math>A = 2\pi a^2 + \frac{\pi b^2}e\ln\left(\frac{1+e}{1-e}\right).</math>}}
*Si {{math|''q'' < ''p''}} : avec les égalités {{math|1=''p = a''}} et {{math|1=''q = b''}}, l'intégrale s'écrit :{{Retrait|<math>\int_0^1\!\! \sqrt{a^2 - (a^2-b^2)u^2}\ \mathrm{d}u = \frac12\sqrt{b^2}frac b2+ \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-b^2}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a\right)</math>}}donc l'aire se réécrit :{{Retrait|<math>A = 2\pi b^2 +2\pi ab\frac{2\piarcsin abe}e\arcsin(e).</math>}}
}}
}}Lorsque l'excentricité tend vers zéro, les [[Développement limité|développements limités]]<ref>{{Lien web |langue=En |titre=Digital Library of mathematical functions - Ch 4 |url=https://dlmf.nist.gov/4 |consulté le=11 août 2022}}</ref> des fonctions quand <math>e\rightarrow\, 0</math> donnent <math>A\simeq 4\pi a^2 (1-e^2/3)</math> dans le cas de l'ellipsoïde aplati et <math>A\simeq 4\pi a^2 (1-2e^2/3)</math> dans le cas allongé. On remarque que quand {{math|''e''}} tend vers {{math|0}}, ces deux expressions tendent vers {{math|4π''R''{{2}}}}, l'aire de la sphère de même volume que l'ellipsoïde.
{{Pertinence contestée|date=21 août 2022|Pour {{mvar|a}} fixé, les [[Développement limité|développements limités]] des fonctions quand <math>e\to0</math> donnent{{ref nec|date=21 août 2022}} <math>A= 4\pi a^2 (1-e^2/3+O(e^4))</math> dans le cas de l'ellipsoïde aplati et <math>A= 4\pi a^2 (1-2e^2/3+O(e^4))</math> dans le cas allongé.
On note que <math>(b{{Démonstration/ a)^2=1-e^2</math> et donc que début}}<math>b/a=\sqrt{1-e^2}= 1-e^2/2+O(e^4)</math>. ▼{{Boîte déroulante/début|titre=Démonstration}}On se situe dans la cas des faibles excentricités.
▲On note que <math>(b/a)^2=1-e^2</math> et donc que <math>b/a=\sqrt{1-e^2}= 1-e^2/2+O(e^4)</math>.
* L'aire de l'ellipsoïde aplati s'écrit :
<math>A = 2\pi a^2 \bigglleft(1 + \frac{b^2}{a^2}\frac{1}{2e}\ln\left(\frac{1+e}{1-e}\right)\Biggr).</math>
Avec le développement limité <math>\ln(1+x)= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} +O(x^4)</math>, on obtient : <math>\frac{1}{2e}\ln\left(\frac{1+e}{1-e}\right)=1+\frac{e^2}{3}+O(e^4),</math>
Soitsoit <math>A=2\pi a^2\bigl(1+(1-e^2)(1+\frac{e^2}{3})+O(e^4)\bigr)=2\pi a^2\biglleft(1+(1-\frac{2e^2}{3})+O(e^4)\bigrright)\;;,</math>
d'où le résultat <math>A\simeq= 4\pi a^2 (1-e^2/3+O(e^4))</math>.
* L'aire de l'ellipsoïde allongé s'écrit : <math>A = 2\pi a^2 \left(\frac{b^2}{a^2}+\frac{b}{a} ba\frac{\arcsin(e)}{e}\right).</math>
Avec les développements limités de <math>\frac{1}{e}\arcsin(e)=1+\frac{e^2}{6}+O(e^4)</math> et de <math>\sqrt{1-e^2}=1-\frac{e^2}{2}+O(e^4)</math> ; on obtient :
<math>A = 2\pi a^2 \left(1-e^2+( 1-\frac{e^2}{2})( 1+\frac{e^2}{6})+O(e^4)\right) = 2\pi a^2 \left( 2-\frac{4e^2}{3} +O(e^4)\right);,
</math>
d'où le résultat <math>A\simeq =4\pi a^2 (1-2e^2/3+O(e^4))</math>.
{{Démonstration/fin}}
}}
Il faut noter que dans les 2 expressions <math>a
</math> dépend de ''e ;'' <math>\lim {a(e)}\rightarrow{R}\; \text{si}\; e\rightarrow 0
</math>, où ''R'' est le rayon de la sphère de même volume que l'ellipsoïde.
{{Boîte déroulante/fin}}
== Applications ==
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