« Métrique de Minkowski » : différence entre les versions
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En relativité restreinte, l'espace et le temps sont liés par une constante universelle homogène à une vitesse, qui joue le rôle d'une vitesse limite, appelée constante de structure de l'espace-temps ou constante chronogéométrique<ref name=":0">{{Article|auteur1=Jean-Marc Lévy-Leblond|titre=L'énergie après Einstein|périodique=Bulletin de l'Union des Physiciens numéro 769|date=décembre 1994}}</ref>, et forment l'[[espace-temps]] à quatre dimensions. Cette constante notée <math>c</math> est possiblement la [[vitesse de la lumière]] tant que l'on ne trouve pas de masse inerte aux photons<ref name=":0" /> (la masse, inerte ou grave, est toujours mesurée dans le référentiel propre<ref name=":0" />, contrairement à l'inertie, qui pour les photons vaut <math>h\nu/c^2</math>). Dans cet espace-temps de Minkowski, on utilise préférentiellement les coordonnées galiléennes<ref name=":1">{{Ouvrage|auteur1=André Lichnerowicz|titre=Éléments de calcul tensoriel|passage=79|éditeur=Jacques Gabay|date=novembre 2005|pages totales=216|isbn=2876472813}}</ref>, qui sont rectangulaires autrement dit rectilignes orthogonales, <math>(t,x,y,z)</math>, ou les coordonnées galiléennes réduites<ref name=":1" /> <math>(ct,x,y,z)</math>. La multiplication de la coordonnées temporelle par <math>c</math> la rend homogène à un espace. <math>c</math> est alors une constante de passage qui permet de mesurer le temps en mètres ou les distances en secondes.
Plaçons-nous dans la base naturelle<ref name=":1" /> du système de coordonnées galiléennes réduites, formée par les vecteurs unitaires tangents aux lignes de coordonnées. Notons <math>e_\mu</math> les [[Base (algèbre linéaire)|vecteurs de base]] de la base naturelle, l'indice grec <math>\mu</math> variant de 0 à 3. Comme tout vecteur de l'espace-temps ils ont quatre coordonnées, une temporelle et trois spatiales, et sont appelés quadrivecteurs. Par définition leurs produits scalaires forment les composantes du tenseur métrique de l'espace-temps de Minkowski. En notation indicielle :▼
<math>a</math> ne peut être fonction du temps.▼
Par conséquent <math>a</math> est une constante et nous avons :▼
Les points de l'espace-temps sont appelés évènement (quelque chose qui a lieu à un instant donné, en un lieu donné) ou point d'univers. La distance spatio-temporelle entre deux évènements est appelée intervalle ou distance d'univers. Pour deux évènements séparés dans l'espace par <math>\Delta x</math>, <math>\Delta y</math>, et <math>\Delta z</math>, et dans le temps par <math>\Delta t</math>, l'intervalle est un scalaire invariant relativiste ou [[Invariance de Lorentz|scalaire de Lorentz]] appelé '''métrique de l'espace-temps de Minkowski''', dont le carré est défini par la forme (une forme est un [[polynôme homogène]]) quadratique{{sfn|Marleau|2017|p=10}} :▼
: <math>(\Delta s)^2 = \pm[c^2(\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2]</math>.▼
où :▼
*<math>x, y, z</math> sont les trois coordonnées d'espace,▼
▲Plaçons-nous dans la base naturelle<ref name=":1" /> du système de coordonnées galiléennes réduites, formée par les vecteurs unitaires tangents aux lignes de coordonnées. Notons <math>e_\mu</math> les [[Base (algèbre linéaire)|vecteurs de base]] de la base naturelle, l'indice grec <math>\mu</math> variant de 0 à 3. Comme tout vecteur de l'espace-temps ils ont quatre coordonnées, une temporelle et trois spatiales, et sont appelés quadrivecteurs. Par définition leurs produits scalaires forment les composantes du tenseur métrique de l'espace-temps de Minkowski. En notation indicielle :
: <math>\eta_{\mu\nu} \equiv e_\mu \cdot e_\nu</math>
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* le [[produit scalaire]], plus précisément appelé quadri-produit scalaire, n'est pas euclidien, dans le sens où il n'est pas défini-positif mais "seulement" non dégénéré (condition moins restrictive)
* par symétrie du quadri-produit scalaire le tenseur métrique est symétrique. Il a 4x4=16 composantes, dont 10 sont indépendantes
* le tenseur métrique est diagonal lorsque l'on utilise
* le tenseur métrique est dit deux fois covariant (chaque indice est covariant) car il varie comme (co-varie) les vecteurs de base de la base naturelle. Par exemple, si leur norme est multipliée par deux alors les composantes du tenseur métrique sont multipliées par deux
* l'espace-temps de Minkowski est dit pseudo-euclidien. "Euclidien" c'est à dire plat, parce que les composantes de la métrique sont des constantes (i.e. ne sont pas des fonctions des coordonnées), "pseudo" parce qu'il contient des signes contraires, au moins un signe positif et un signe négatif
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: <math>A \cdot A = A^\mu e_\mu \cdot A^\nu e_\nu = A^\mu A^\nu \eta_{\mu\nu} = A^\mu A_\mu = \|A\|^2</math>
Le vecteur position, appelé [[quadrivecteur]] position ou vecteur d'
: <math>X = x^\mu e_\mu</math>
Ses [[Covariant et contravariant (algèbre linéaire)|composantes contravariantes]]{{sfn|Marleau|2017|p=10}} s'écrivent :
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: <math>x^\mu = \eta^{\mu\nu}x_\nu</math>
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▲Les points de l'espace-temps sont appelés
▲: <math>(\Delta s)^2 = \pm[c^2(\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2]</math>.
▲où :
▲*<math>x, y, z</math> sont les trois coordonnées d'espace,
Dans le premier cas, si l'on conserve le signe positif, le carré de la pseudo-norme des vecteurs de base de la base naturelle ont pour expression <math>e_\mu^2 = \{ 1</math> si <math>\mu = 0</math> et <math>-1</math> si <math>\mu = 1, 2, 3 \}</math>. Le tenseur métrique s'écrit alors{{sfn|Marleau|2017|p=11}} en notation matricielle :
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