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« Métrique de Minkowski » : différence entre les versions

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En relativité restreinte, l'espace et le temps sont liés par une constante universelle homogène à une vitesse, qui joue le rôle d'une vitesse limite, appelée constante de structure de l'espace-temps ou constante chronogéométrique<ref name=":0">{{Article|auteur1=Jean-Marc Lévy-Leblond|titre=L'énergie après Einstein|périodique=Bulletin de l'Union des Physiciens numéro 769|date=décembre 1994}}</ref>, et forment l'[[espace-temps]] à quatre dimensions. Cette constante notée <math>c</math> est possiblement la [[vitesse de la lumière]] tant que l'on ne trouve pas de masse inerte aux photons<ref name=":0" /> (la masse, inerte ou grave, est toujours mesurée dans le référentiel propre<ref name=":0" />, contrairement à l'inertie, qui pour les photons vaut <math>h\nu/c^2</math>). Dans cet espace-temps de Minkowski, on utilise préférentiellement les coordonnées galiléennes<ref name=":1">{{Ouvrage|auteur1=André Lichnerowicz|titre=Éléments de calcul tensoriel|passage=79|éditeur=Jacques Gabay|date=novembre 2005|pages totales=216|isbn=2876472813}}</ref>, qui sont rectangulaires autrement dit rectilignes orthogonales, <math>(t,x,y,z)</math>, ou les coordonnées galiléennes réduites<ref name=":1" /> <math>(ct,x,y,z)</math>. La multiplication de la coordonnées temporelle par <math>c</math> la rend homogène à un espace. <math>c</math> est alors une constante de passage qui permet de mesurer le temps en mètres ou les distances en secondes.
 
Plaçons-nous dans la base naturelle<ref name=":1" /> du système de coordonnées galiléennes réduites, formée par les vecteurs unitaires tangents aux lignes de coordonnées. Notons <math>e_\mu</math> les [[Base (algèbre linéaire)|vecteurs de base]] de la base naturelle, l'indice grec <math>\mu</math> variant de 0 à 3. Comme tout vecteur de l'espace-temps ils ont quatre coordonnées, une temporelle et trois spatiales, et sont appelés quadrivecteurs. Par définition leurs produits scalaires forment les composantes du tenseur métrique de l'espace-temps de Minkowski. En notation indicielle :▼
À partir de la vitesse limite on peut trouver un deuxième invariant relativiste qui fait intervenir les coordonnées spatio-temporelles.
 
{{Ancre|general}}{{Boîte déroulante/début|titre=Démonstration d'un nouvel invariant relativiste}}
Dans un référentiel galiléen <math>\mathcal R</math> de système de coordonnées galiléennes <math>(x,y,z,t)</math>,
imaginons qu'à l'origine spatiale <math>O(0,0,0)</math> se produise un flash à l'instant initial <math>t=0</math>.
Supposons que la lumière se propage à la vitesse limite <math>c</math>.
Un observateur dans <math>\mathcal R</math> voit une sphère de lumière de centre <math>O</math> s'étendre dans l'espace, d'équation :
: <math>x^2+y^2+z^2=c^2t^2</math>
 
Soit <math>\mathcal R'</math> un référentiel galiléen se déplaçant à la vitesse <math>\vec v_e</math> constante dans <math>\mathcal R</math>,
selon les axes <math>x</math> et <math>x'</math> confondus, dans le sens des <math>x</math> croissants.
On suppose qu'à l'instant initial <math>t'=t=0</math>, l'origine spatiale <math>O'(0,0,0)</math> de <math>\mathcal R'</math> croise celle de <math>\mathcal R</math>.
En relativité restreinte comme en mécanique non relativiste,
un observateur dans <math>\mathcal R'</math> voit aussi une sphère de lumière s'étendre dans l'espace.
Cependant, par invariance de <math>c</math>, en relativité la sphère de lumière vue par un observateur dans <math>\mathcal R'</math> n'a pas pour centre <math>O</math> mais <math>O'</math>, et a pour équation dans <math>\mathcal R'</math> :
: <math>x'^2+y'^2+z'^2=c^2t'^2</math>
L'équation de la sphère de lumière est invariante par changement de référentiel galiléen, c'est un invariant relativiste.
Cela suggère de poser
: <math> s^2=\pm\left(c^2t^2-x^2-y^2-z^2\right)</math>
où le signe positif ou négatif est choisi de façon purement conventionnelle.
Avec cette définition, si <math>s^2</math> est nul dans un référentiel galiléen <math>\mathcal R</math>,
alors il est nul dans tout autre référentiel galiléen <math>\mathcal R'</math>, autrement dit <math>s^2</math> et <math>s'^2</math> sont proportionnels :
: <math>s^2=as'^2</math>
 
L'espace étant supposé homogène (toute expérience donne le même résultat indépendamment de l'endroit où elle est faite),
le facteur de proportionnalité <math>a</math> ne peut être fonction des coordonnées.
Le temps étant également supposé homogène (toute expérience donne le même résultat indépendamment de l'époque à laquelle elle est faite),
<math>a</math> ne peut être fonction du temps.▼
L'espace étant supposé isotrope (toute expérience donne le même résultat indépendamment de l'orientation choisie),
<math>a</math> ne peut être fonction de la direction de la vitesse relative des référentiels.
<math>a</math> n'est donc fonction que de la norme euclidienne de la vitesse relative des référentiels :
: <math>s^2=a(v_e)s'^2</math>
 
Considérons trois référentiels d'inertie, nous avons alors :
: <math>s_1^2=a(v_{12})s_2^2</math>
: <math>s_2^2=a(v_{23})s_3^2</math>
: <math>s_1^2=a(v_{13})s_3^2</math>
ce qui donne
: <math>s_1^2=a(v_{12})a(v_{23})s_3^2</math>
c'est à dire
: <math>a(v_{13})=a(v_{12})a(v_{23})</math>
Cette relation est impossible car <math>v_{13}</math> dépend non seulement des valeurs <math>v_{12}</math> et <math>v_{23}</math>,
mais aussi de l'angle entre les vecteurs <math>\vec{v}_{12}</math> et <math>\vec{v}_{23}</math>.
Par conséquent <math>a</math> est une constante et nous avons :▼
: <math>a=a^2</math>
Cela laisse deux possibilités,
<math>a=0</math> donne <math>s=0</math> ce qui est impossible,
donc <math>a=1</math> et :
: <math>s^2=s'^2</math>
<math>s</math> est la distance spatio-temporelle quadridimensionnelle, invariante par changement de référentiel galiléen, donc absolue dans l'espace-temps.
 
Il s'agit ici de l'intervalle d'espace-temps entre l'évènement origine <math>(0,0,0,0)</math> et l'évènement <math>(t,x,y,z)</math>.
<math>s</math> étant invariante par changement de coordonnées spatio-temporelle, c'est un quadriscalaire ou scalaire de Lorentz ou encore un invariant de Lorentz.
{{Boîte déroulante/fin}}
 
Les points de l'espace-temps sont appelés évènement (quelque chose qui a lieu à un instant donné, en un lieu donné) ou point d'univers. La distance spatio-temporelle entre deux évènements est appelée intervalle ou distance d'univers. Pour deux évènements séparés dans l'espace par <math>\Delta x</math>, <math>\Delta y</math>, et <math>\Delta z</math>, et dans le temps par <math>\Delta t</math>, l'intervalle est un scalaire invariant relativiste ou [[Invariance de Lorentz|scalaire de Lorentz]] appelé '''métrique de l'espace-temps de Minkowski''', dont le carré est défini par la forme (une forme est un [[polynôme homogène]]) quadratique{{sfn|Marleau|2017|p=10}} :▼
: <math>(\Delta s)^2 = \pm[c^2(\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2]</math>.▼
où :▼
*<math>t</math> est la coordonnée de temps,
*<math>x, y, z</math> sont les trois coordonnées d'espace,▼
*<math>c</math> est la constante chrono-géométrique.
*le signe est affaire de convention
 
== Signature de la métrique de Minkowski ==
Si l'on écrit le carré de la métrique sous la forme
: <math>(\Delta s)^2 = c^2(\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2</math>
alors la signature de la métrique est <math>(1,3)</math>, ou le premier entier indique le nombre de signes positifs, et le second entier le nombre de signes négatifs.
On donne souvent la métrique sous sa forme explicite <math>(+---)</math>. La loi d'inertie de Sylvester stipule que la signature est indépendante du système de coordonnées choisi, autrement dit du référentiel galiléen en relativité. Si l'on écrit le carré de la métrique sous la forme
: <math>(\Delta s)^2 = -c^2(\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2</math>
alors la signature de la métrique est <math>(3,1)</math>, ou sous forme explicite <math>(-+++)</math>.
 
== Approche tensorielle ==
▲Plaçons-nous dans la base naturelle<ref name=":1" /> du système de coordonnées galiléennes réduites, formée par les vecteurs unitaires tangents aux lignes de coordonnées. Notons <math>e_\mu</math> les [[Base (algèbre linéaire)|vecteurs de base]] de la base naturelle, l'indice grec <math>\mu</math> variant de 0 à 3. Comme tout vecteur de l'espace-temps ils ont quatre coordonnées, une temporelle et trois spatiales, et sont appelés quadrivecteurs. Par définition leurs produits scalaires forment les composantes du tenseur métrique de l'espace-temps de Minkowski. En notation indicielle :
: <math>\eta_{\mu\nu} \equiv e_\mu \cdot e_\nu</math>
 
Ligne 83 ⟶ 12 :
* le [[produit scalaire]], plus précisément appelé quadri-produit scalaire, n'est pas euclidien, dans le sens où il n'est pas défini-positif mais "seulement" non dégénéré (condition moins restrictive)
* par symétrie du quadri-produit scalaire le tenseur métrique est symétrique. Il a 4x4=16 composantes, dont 10 sont indépendantes
* le tenseur métrique est diagonal lorsque l'on utilise unle système de coordonnées galiléennes réduites qui est rectangulaire
* le tenseur métrique est dit deux fois covariant (chaque indice est covariant) car il varie comme (co-varie) les vecteurs de base de la base naturelle. Par exemple, si leur norme est multipliée par deux alors les composantes du tenseur métrique sont multipliées par deux
* l'espace-temps de Minkowski est dit pseudo-euclidien. "Euclidien" c'est à dire plat, parce que les composantes de la métrique sont des constantes (i.e. ne sont pas des fonctions des coordonnées), "pseudo" parce qu'il contient des signes contraires, au moins un signe positif et un signe négatif
Ligne 97 ⟶ 26 :
: <math>A \cdot A = A^\mu e_\mu \cdot A^\nu e_\nu = A^\mu A^\nu \eta_{\mu\nu} = A^\mu A_\mu = \|A\|^2</math>
 
Le vecteur position, appelé [[quadrivecteur]] position ou vecteur d'universUnivers, a pour expression :
: <math>X = x^\mu e_\mu</math>
Ses [[Covariant et contravariant (algèbre linéaire)|composantes contravariantes]]{{sfn|Marleau|2017|p=10}} s'écrivent :
Ligne 117 ⟶ 46 :
: <math>x^\mu = \eta^{\mu\nu}x_\nu</math>
 
== ConventionConventions de signe ==
▲Les points de l'espace-temps sont appelés évènementévénement (quelque chose qui a lieu à un instant donné, en un lieu donné) ou point d'univers. La distance spatio-temporelle entre deux évènementsévénements est appelée intervalle ou distance d'univers. Pour deux évènementsévénements séparés dans l'espace par <math>\Delta x</math>, <math>\Delta y</math>, et <math>\Delta z</math>, et dans le temps par <math>\Delta t</math>, l'intervalle est un scalaire invariant relativiste ou [[Invariance de Lorentz|scalaire de Lorentz]] aussi appelé '''métrique de l'espace-temps de Minkowski''', dont le carré est défini par la forme (une forme est un [[polynôme homogène]]) quadratique{{sfn|Marleau|2017|p=10}} :
▲: <math>(\Delta s)^2 = \pm[c^2(\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2]</math>.
▲où :
▲*<math>at</math> neest peutla êtrecoordonnée fonction dude temps.,
▲*<math>x, y, z</math> sont les trois coordonnées d'espace,
▲Par conséquent *<math>ac</math> est unela constante et nous avons :chrono-géométrique.
 
Dans le premier cas, si l'on conserve le signe positif, le carré de la pseudo-norme des vecteurs de base de la base naturelle ont pour expression <math>e_\mu^2 = \{ 1</math> si <math>\mu = 0</math> et <math>-1</math> si <math>\mu = 1, 2, 3 \}</math>. Le tenseur métrique s'écrit alors{{sfn|Marleau|2017|p=11}} en notation matricielle :
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