« Entier naturel » : différence entre les versions
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{{Voir homonymes|Entier}}
En [[mathématiques]], un '''entier naturel''' est un [[nombre]] permettant fondamentalement de compter des objets considérés comme des unités équivalentes : un jeton, deux jetons… une carte, deux cartes, trois cartes… Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de [[chiffre]]s en [[Écriture décimale positionnelle|notation décimale positionnelle]] (sans [[signes plus et moins|signe]] et sans [[virgule#Mathématiques|virgule]] fractionnaire).
L’étude des entiers naturels est l’objet de l’[[arithmétique]], branche des mathématiques, constituée dès l'[[Mathématiques de la Grèce antique|Antiquité grecque]]. Chaque nombre entier a un ''successeur'' unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels est [[infini]]e<ref>[[Georg Cantor]] est le premier mathématicien à avoir étudié les différents infinis, il s'est appuyé sur l'ensemble ordonné des entiers naturels pour définir une première base d'infini et ensuite mieux découvrir les autres ensembles infinis.</ref>.
Les définitions modernes d’'''entier naturel''' sont fondées sur :
* l’[[axiomatisation]] de
* la construction d’ensembles vérifiant les [[Axiome|axiomes]] de
La définition originelle, due à [[Richard Dedekind]]<ref>Richard Dedekind. ''Was sind und sollen die Zahlen?'' (1888) {{2e}} éd. Friedrich Vieweg et fils 1893. [https://archive.org/stream/wassindundwasso00dedegoog#page/n42/mode/2up Lire en ligne.]</ref>, de l'ensemble des entiers naturels ne comprend pas le nombre zéro<ref> Sous l'entrée « nombre », le Lexis (1975) définit un « nombre naturel » comme {{Citation|chacun des entiers de la suite 1,2,3, etc.}}, et le Petit Robert (1977) donne {{Citation|À l'origine, et dans le cas le plus simple des nombres naturels (1,2,3,4…)[…]}} ; l'[[Académie française]], dans la neuvième édition de son dictionnaire, sous l'entrée « entier » définit un « nombre entier naturel » comme un « nombre entier positif », et sous l'entrée « positif » précise qu'un « nombre positif » est « supérieur à zéro ».</ref> ; plus récemment une autre définition a été proposée qui inclut zéro. Ces deux définitions coexistent encore aujourd'hui<ref>{{MathWorld|nom_url=NaturalNumber|titre=Natural Number}}.</ref>. Selon les acceptions, la liste des entiers naturels est donc :
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* 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …
Quelle que soit la définition choisie (entiers commençant à zéro ou commençant à un), l'ensemble des entiers naturels est conventionnellement noté « '''N''' » ou « ℕ », avec tous les risques induits de mésinterprétation.
* Lorsqu'on prend comme définition des entiers naturels les entiers commençant à
* Lorsqu'on prend pour définition des entiers naturels les entiers commençant à
Les entiers naturels s'identifient aux [[Entier relatif|entiers relatifs]] [[nombre positif|positifs (ou nuls)]], ainsi qu'aux [[nombre rationnel|nombres rationnels]] positifs (ou nuls) pouvant s'écrire sous la forme d'une [[fraction (mathématiques)|fraction]] de dénominateur 1, et d'une manière plus générale aux [[nombre réel|réels]] positifs (ou nuls) de [[partie fractionnaire]] nulle.
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Le nombre est en germe dans l'énumération d'une collection, c'est-à-dire le fait de faire défiler tous ses éléments, un à un et sans répétition. Il prend consistance dans le constat que deux énumérations simultanées (d'un troupeau vers un enclos et de cailloux dans un sac, par exemple) se terminent soit toujours en même temps, soit toujours en décalage. Le nombre est enfin représenté lorsque le sac de cailloux ou le bâton à encoches est utilisé pour indiquer une quantité.
Cependant, le concept d'entier ne naît véritablement que lorsqu'il est départi de son représentant, c'est-à-dire lorsqu'il ne représente plus ni cailloux, ni encoches, ni vache : il y a là une première abstraction où chaque objet est considéré comme
[[Euclide]] donne au Livre VII des [[Éléments d'Euclide|''Éléments'']] la définition suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. » Cette abstraction lui permet de définir ensuite le nombre (entier naturel) comme « collection d'unités<ref>Cette définition peut rétrospectivement être appliquée au nombre [[zéro]], une collection ne comprenant aucune unité.</ref> ».
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