« Quantité de mouvement » : différence entre les versions
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En [[mécanique classique]], la quantité de mouvement d'un [[point matériel]] de masse {{mvar|m}} animé d'une vitesse <math>\vec{v}</math> dans un [[Référentiel (physique)|référentiel]] donné est définie comme produit de sa masse et de sa vitesse<ref>{{Ouvrage |prénom1=Joseph |nom1=Kane |prénom2=Morton |nom2=Sternheim |titre=Physique |sous-titre=plus de 1900 problèmes et exercices, plus de 800 solutions |passage=161 |éditeur=Masson|collection=Enseignement de la physique |date=1997 |isbn=978-2-225-83137-9 |consulté le=2023-12-11}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=fr |nom=Futura |titre=Définition {{!}} Quantité de mouvement |url=https://www.futura-sciences.com/sciences/definitions/physique-quantite-mouvement-4008/ |site=[[Futura (portail web)|Futura]] |consulté le=2023-12-11}}.</ref> :
:<math>\vec{p}=m\vec{v}</math>
C'est donc, comme la vitesse, une grandeur [[Espace vectoriel|vectorielle]], dont l'unité [[Système international d'unités|SI]] est le kilogramme [[mètre par seconde]] ({{nb|kg m s-1}}).
Cette grandeur est ''additive'', ainsi pour un système matériel composé de ''N'' particules, la quantité de mouvement totale (ou ''résultante cinétique'') du système est définie par :
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L'interaction entre le champ et les charges et les courants fait intervenir la densité de [[force de Lorentz]] <math>\vec{f}=\rho\vec{E}+\vec{j}\wedge\vec{B}</math>, or d'après les [[équations de Maxwell]], il vient :
* pour la [[densité de charge]] : <math>\rho=\varepsilon_0\operatorname{div}\vec{E}</math> ;
* pour la [[densité de courant]] : <math>\vec{j}=\vec{\operatorname{rot}}\left(\frac{\vec{B}}{\mu_0}\right)-\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}</math>,
ce qui donne par substitution :
:<math>\vec{f}=\left(\varepsilon_0\operatorname{div}\vec{E}\right)\vec{E}+\vec{\operatorname{rot}}\left(\frac{\vec{B}}{\mu_0}\right)\wedge\vec{B}-\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\wedge\vec{B}</math>,
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La valeur de {{mvar|p{{ind|x}}}} n'est pas quantifiée ''a priori'', sauf si des conditions particulières sont imposées à la particule, par exemple si elle confinée dans une [[particule dans une boîte|boîte]].
Ce résultat se généralise aussitôt à trois dimensions sous la forme <math>\psi_p(\vec{r})=C\exp{\left( \mathrm{i} \, \frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{\hbar}\right)}=C\exp{\left(\mathrm{i}\,\vec{k}\cdot\vec{r}\right)}</math>, où <math>\vec{k}=\frac{\vec{p}}{\hbar}</math> est le [[vecteur d'onde]] de la particule. Ces états ne sont pas normalisables au sens usuel (ce ne sont pas des fonctions de carré sommable), mais il est possible de les normaliser « au sens des distributions » :
:<math>\int{\psi_{p'}(\vec{r})\psi_p(\vec{r}) d^3\vec{r}} = \delta\left(\vec{p}\ '-\vec{p}\right)</math>.
Avec cette condition de normalisation il est possible de montrer que <math>C=\frac{1}{\left(2\pi\hbar\right)^{3/2}}</math>, en prenant pour convention de phase ''C'' réel<ref>Cf. {{Landau|tome 3}}, §15.</ref> et les états propres normalisés de l'opérateur impulsion s'écrivent ainsi en représentation position:
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