« Théorème d'existence de Takagi » : différence entre les versions

En [[mathématiques]] et dans la [[théorie des corps de classes]], le '''théorème d'existence de Takagi''' établit en partie que si <math>\mathbb{''K}</math>'' est un [[corps de nombres]] avec unde [[Groupe des classes d'idéaux|groupe de classes]] ''G'', il existe une unique [[extension abélienne]] ''L''/''K'' avec unde [[groupe de Galois]] ''G'', teltelle que chaque idéal dans <math>\mathbb{''K}\,</math>'' devient principal dans ''L'', et que ''L'' est caractérisé par la propriété que c'est l'extension abélienne non ramifiée maximale de <math>\mathbb{''K}\,</math>''. Le théorème nous dit que le [[corps de classes de Hilbert]] conjecturé par [[David Hilbert|Hilbert]] existe toujours, mais il a été exigé parc'est [[Emil Artin]] et [[Philipp Furtwängler]] pourqui démontrerdémontrèrent que cette principalisation apparaît.

Plus généralement, le théorème d'existence nous dit qu'il existe une correspondance d'inclusionsbijective, bijectivesrenversant les inclusions, entre les extensions abéliennes de <math>\mathbb{''K}\,</math>'' et les groupes d'idéaux définis via desles '''modules''' de <math>\mathbb{''K}\,</math>''. Ici, un module (ou ''diviseur de rayon'') est un produit formel des [[valuation (mathématiques)|valuations]]s (aussi appeléappelées '''premiersplaces''') ousur '''places'K'') surélevées <math>\mathbb{K}\,</math>à vers lesdes exposants entiers positifs. Les valuations archimédiennes incluentqui apparaissent dans un rayon sont seulement ceuxcelles dont les complémentscomplétés sont desles [[nombre réel|nombres réels]] ; ilselles peuvent être identifiésidentifiées avec les [[Corps ordonné|ordres sur <math>\mathbb{''K}\,</math>'']] et apparaîssentapparaissent seulement avec un exposant un.

Le module <math>\mu\,</math>μ est un produit ded'une partiespartie archimédiennesarchimédienne <math>\alpha\,</math>α et ded'une partiespartie non-archimédiennes <math>\eta\archimédienne η,</math> et <math>\eta\,</math>η peut être identifié avec un idéal dansde l'[[Entier algébrique|anneau des entiers]] <math>\mathcal{O}_K\, O_K</math> de <math>\mathbb{''K}\,</math>''. Le ''nombregroupe de groupenombres mod <math>\eta\,</math>η'' de <math>\mathbb{''K}\,</math>'', <math>\mathbb{K}_K_\eta\,</math>, est le groupe multiplicativemultiplicatif des fractions <math>u/v</math> avec <math>u différent de zéro</math> et v premier vers <math>\eta\,v</math> non nuls et premiers à η dans <math>\mathcal{O}_K\, O_K</math>. Le ''rayon'' ou ''unité de rayon'' du groupe de nombrenombres mod <math>\mu\,</math> de ''K'', <math>K_\mu^1</math>, est le sous-groupe des <math>u/v</math> tels que de plus, <math>u \mathbb{K}equiv v \,mod \eta</math>, et <math>u/v>0</math> pour chacun des ordres de <math>\mathbb{K}_{alpha</math>. Un ''groupe de nombre de rayon'' est maintenant un groupe se trouvant entre <math>K_\eta</math> et <math>K_\mu}^1</math> et les groupes d'idéaux mod <math>\,mu</math>, ensont plusles des[[idéal conditionsfractionnaire|idéaux surfractionnaires]] upremiers etavec v<math>\eta</math> quemodulo un tel groupe de nombres de rayon. Ce sont ces groupes d'idéaux qui correspondent aux extensions abéliennes par le théorème d'existence.

Le théorème est dû à [[Teiji Takagi]], qui le démontra pendant les années d'isolement de la [[Première Guerre mondiale]] et le présenta àau la[[Congrès Conférence Internationaleinternational des Mathématiciensmathématiciens]] ende [[1920]], conduisant au développement de la théorie classique de la [[théorie des corps de classes]] durant les années 1920. À la demande de Hilbert, l'article fut publié dans ''[[Mathematische Annalen]]'' en [[1925]].