« Théorème des deux carrés de Fermat » : différence entre les versions
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Ligne 215 :
* ''Il existe un multiple de p s'écrivant comme somme d'un carré parfait et de ''1 ''si et seulement si le reste de la division euclidienne de p par ''4 ''donne pour reste ''1.
La condition est nécessaire, il a en effet déjà été démontré que le reste de la division euclidienne de ''m''<sup>2</sup> + 1 n'est jamais égal à 3. De nombreuses approches permettent d'établir la condition suffisante. L'une utilise le [[petit théorème de Fermat]]<ref name="Euler">La démonstration proposée est essentiellement celle d'Euler, [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0852.pdf Lettre CXXV].</ref>. Une connaissance plus avancée en [[arithmétique modulaire]] permet une démonstration plus expéditive.
{{Démonstration|titre= Démonstrations avec et sans arithmétique modulaire|contenu=
Ligne 221 :
La question revient à montrer que la classe de –1 est un carré dans le [[anneau Z/nZ|corps ℤ/''p''ℤ]] si ''p ''– 1 est égal à 4''n'', avec ''n'' un entier strictement positif. Le [[groupe des unités|groupe multiplicatif]] de (ℤ/''p''ℤ)* est un [[groupe cyclique]] comptant 4''n'' éléments. Soit ''g'' un générateur de ce groupe, alors l'élément ''g''<sup>2''n''</sup> est différent de 1 et son carré ''g''<sup>4''n''</sup> est égal à 1, or dans le corps, seul l'élément –1 vérifie cela. Ainsi, –1 = ''g''{{exp|2''n''}} = (''g{{exp|n''}}){{2}}.
* '''Démonstration d'Euler, sans arithmétique modulaire :'''
Ici, ''n'' désigne encore l'entier tel que ''p'' = 4''n'' + 1. Le [[petit théorème de Fermat]] montre que si ''x'' est un entier non divisible par ''p'', alors ''x
Considérons la suite de polynômes ''Q''<sub>n</sub>(''X'') définie par récurrence de la manière suivante :
<center><math>Q_0(X)= X^{2n}-1\quad \text{et}\quad Q_{i+1}(X)=Q_i(X+1)-Q_i(X).</math></center>
On remarque que si ''i'' est un entier compris entre 1 et 2''n'', alors ''Q<sub>i</sub>''(''X'') est un polynôme de degré 2''n – i'' et de monôme dominant ayant un coefficient égal au produit {{nobr|(2''n'')(2''n'' – 1)… (2''n – i'' + 1).}} On en déduit que ''Q''<sub>2''n''</sub>(''X'') est un polynôme constant égal à (2''n'')! ''(ici le symbole ! désigne la fonction [[factorielle]])''. Comme ''p'' est premier et supérieur à 2''n'', il n'est pas diviseur de (2''n'')!. Or ''Q''<sub>2''n''</sub>(''X'') est [[combinaison linéaire]] à [[coefficient]]s dans ℤ ''(l'ensemble des [[nombre entier|entiers]])'', des polynômes ''Q''<sub>0</sub>(''X''), ''Q''<sub>0</sub>(''X'' + 1), … , ''Q''<sub>0</sub>(''X'' + 2''n'') donc aussi (par évaluation en 1, puisqu'en fait ce polynôme est constant) des entiers ''Q''<sub>0</sub>(1), ''Q''<sub>0</sub>(2), … , ''Q''<sub>0</sub>(1 + 2''n''). L'une au moins de ces valeurs n'est donc pas un multiple de ''p'', ce qui termine la démonstration.
* '''Variante :'''
Dans la preuve précédente, l'existence d'un entier ''a ''tel que ''a''<sup>2''n'' + 1</sup> – ''a ''n'est pas un multiple de ''p'' peut aussi se démontrer en vérifiant que le polynôme suivant n'est pas [[Polynôme à valeurs entières|« à valeurs entières » (sur tous les entiers)]] :
<center><math>P(X)=\frac{X^{2n+1}-X}p=\sum_{k=1}^{2n+1}c_kP_k(X)\quad\text{avec}\quad c_k\in\Q\quad\text{et}\quad P_k(X)=\frac{X(X-1)\ldots(X-k+1)}{k!}.</math></center>
Par identification des coefficients dominants, ''c''{{ind|2''n'' + 1}} =
<center><math>P(a)=\sum_{k=1}^{a-1}c_kP_k(a)+c_a\notin\Z
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