« Théorème de Cauchy-Lipschitz » : différence entre les versions
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m →Vocabulaire spécifique : refs pour Zorn |
+Demailly : sol max sans Zorn |
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:* Une courbe intégrale de ''S'', satisfaisant la condition de Cauchy ''C'', est dite '''maximale''' si elle est définie sur un intervalle et qu'elle est [[Élément maximal|maximale]] pour la relation d'ordre ci-dessus, c'est-à-dire qu'elle ne peut pas être prolongée en une solution définie sur un intervalle strictement plus grand.
Toute solution est majorée par une solution maximale<ref>Mercier et Laudenbach invoquent le [[lemme de Zorn]] mais Demailly s'en passe :
D'après le [[lemme de Zorn]], toute solution est majorée par une solution maximale<ref>{{ouvrage|titre=L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques|volume=2|éditeur=Publibook|prénom=Dany-Jack|nom1=Mercier|année=2006|isbn=978-2-74833001-4|url=http://books.google.fr/books?id=rOp3DAYCCn8C&pg=PA358|passage=358}}</ref>{{,}}<ref>{{chapitre|url=http://books.google.fr/books?id=PSjfdWxB5sUC&pg=PA2|prénom=François|nom=Laudenbach|titre=Équations différentielles|passage=2|titre ouvrage=Aspects des systèmes dynamiques|auteurs ouvrage=Nicole Berline et Claude Sabbah|lien éditeur=École polytechnique (France)#Éditions de l’École polytechnique|éditeur=EUP|année=2009|isbn=978-2-73021560-2}}</ref>. Ceci garantit l'existence d'une solution maximale à un problème de Cauchy donné, et l'équivalence entre son unicité et la propriété qu'elle soit non seulement maximale mais [[maximum]]. L'article sur le [[théorème de Cauchy-Peano-Arzelà]] donne des exemples montrant que cette unicité n'est généralement pas garantie. Pour que les hypothèses du théorème soient vérifiées, la fonction ''f'' doit aussi posséder une propriété de régularité. Si ''P''(Ω) est la projection canonique sur ''E'' de Ω :▼
*{{ouvrage|titre=L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques|volume=2|éditeur=Publibook|prénom=Dany-Jack|nom1=Mercier|année=2006|isbn=978-2-74833001-4|url=http://books.google.fr/books?id=rOp3DAYCCn8C&pg=PA358|passage=358}}
*{{chapitre|url=http://books.google.fr/books?id=PSjfdWxB5sUC&pg=PA2|prénom=François|nom=Laudenbach|titre=Équations différentielles|passage=2|titre ouvrage=Aspects des systèmes dynamiques|auteurs ouvrage=Nicole Berline et Claude Sabbah|lien éditeur=École polytechnique (France)#Éditions de l’École polytechnique|éditeur=EUP|année=2009|isbn=978-2-73021560-2}}
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:* La fonction ''f'' est dite '''localement [[Application lipschitzienne|lipschitzienne]] par rapport à la deuxième variable''' si, pour tout ''x'' de ''P''(Ω), il existe un réel ''k'' strictement positif et un voisinage ''V'' de ''x'' dans ''P''(Ω) tel que :
<center><math>\forall (t, x_1), (t,x_2) \in \Omega, \quad x_1,x_2 \in \mathcal V \;\Rightarrow \; \|f(t,x_1)-f(t,x_2)\| \le k\|x_1 - x_2\|. </math></center>
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{{théorème|Il existe une unique solution maximale du problème de Cauchy constitué de l'équation (1) et de la condition ''C''.}}
Autrement dit, (''cf. ''[[#Vocabulaire spécifique|§ « Vocabulaire spécifique »]]) : il existe une solution maximum, c'est-à-dire dont toute solution définie sur un intervalle est une restriction. De plus ici, grâce à l'unicité locale, on peut redémontrer directement que toute solution possède un prolongement en une solution maximale
{{Démonstration/début|titre=Démonstrations}}
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