:* Une courbe intégrale de ''S ''est dite '''maximale''' si elle est [[Élément maximal|maximale]] pour la relation d'ordre ci-dessus, c'est-à-dire qu'elle ne peut pas être prolongée en une solution définie sur un intervalle strictement plus grand.
TouteEn utilisant une forme ou une autre de l'[[axiome du choix]], on montre que toute solution dans ''S ''est majorée par une solution maximale<ref>{{harvsp|Mercier|2006|p=[http://books.google.fr/books?id=rOp3DAYCCn8C&pg=PA358 358]}} et {{harvsp|Laudenbach|2009|p=[http://books.google.fr/books?id=PSjfdWxB5sUC&pg=PA2 2]}} invoquent le [[lemme de Zorn]] mais. {{harvsp|Demailly|texte=Demailly 2006|p=[http://books.google.fr/books?id=2yTLzzm3N6kC&pg=PA128 128]}} sutilise implicitement l'en[[Axiome passedu choix#Axiome du choix dépendant|axiome du choix dépendant]].</ref>. Ceci garantit l'existence d'une solution maximale à un problème de Cauchy donné, et l'équivalence entre son unicité et la propriété qu'elle soit non seulement maximale dans ''S ''mais [[maximum]] parmi les solutions de ''S ''qui satisfont la condition initiale. L'article sur le [[théorème de Cauchy-Peano-Arzelà]] donne des exemples montrant que cette unicité n'est généralement pas garantie. Pour que les hypothèses du théorème soient vérifiées, la fonction ''f'' doit aussi posséder une propriété de régularité. Si ''P''(Ω) est la projection canonique sur ''E'' de Ω :
:* La fonction ''f'' est dite '''localement [[Application lipschitzienne|lipschitzienne]] par rapport à la deuxième variable''' si, pour tout ''x'' de ''P''(Ω), il existe un réel ''k'' strictement positif et un voisinage ''V'' de ''x'' dans ''P''(Ω) tel que :
