On trouvera des variantes de la forme géométrique à l'article [[Séparation des convexes]].
== Le rôle de l'[[axiome du choix]] ==
Comme on l'a vu, le [[lemme de Zorn]] (équivalent à l'[[axiome du choix]]) entraîne le théorème de Hahn-Banach. En réalité, le [[{{Lien|trad=Boolean prime ideal theorem|Théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole|texte=lemme des ultrafiltres]]}}, qui est une proposition plus faible que l'[[Axiome du choix#Axiome du choix dépendant|axiome du choix dépendant]], est suffisant pour démontrer le théorème de Hahn-Banach. Mais inversement, on sait depuis des travaux de D.David PinasPincus de 1972 que le théorème de Hahn-Banach n'est pas suffisant pour démontrer le lemme des ultrafiltres. Ainsi, le théorème de Hahn-Banach n'est pas équivalent à l'axiome du choix dans le système d'axiomes de [[Théorie ZF|Zermelo-Fraenkel]]. On doit ajouter à cela que le seul système de Zermelo-Fraenkel n'est pas à lui seul suffisant pour démontrer Hahn-Banach, dont toute preuve doit donc reposer inévitablement sur une variante ou autreune varianteautre de l'axiome du choix<ref>Toutes ces informations sont disponibles dans ''{{Ouvrage|lang=en|prénom=Paul|nom1=Howard|prénom2=Jean|nom2=Rubin|titre=Consequences of the Axiom of Choice'', de Paul Howard et Jean E. Rubin, coll. « |collection=Mathematical surveysSurveys and monographsMonographs|numéro », vol.dans collection=59,|lien éditeur=American Mathematical Society, |éditeur=AMS|année=1998 {{ISBN|url=http://books.google.fr/books?id=YXaVkHPQED4C|isbn=0821809776}}, qui renvoie notamment aux articles de D. PinasPincus, « Independence of the prime ideal theorem from the Hahn-Banach theorem », dans le ''[[Bulletin of the American Mathematical Society]]'', 78 (1972) p. 203-248 et « The strength of the Hahn-Banach theorem », dans ''Proceedings of the Victoria Symposium on Nonstandard Analysis'', coll. « Lecture notes in mathematics », vol. 369, Springer, Heidelberg, 1973. Pinas fournit deux modèles où Hahn-Banach est vrai alors que certaines formes de l'axiome du choix (lemme des ultrafiltres, axiome du choix dénombrable) ne le sont pas, l'un construit pour l'occasion, l'autre étant un modèle déjà connu construit par A. Levy en 1962 à d'autres fins dans lequel il prouve que Hahn-Banach est vérifié. Il prouve par ailleurs qu'il existe des contre-exemples à Hahn-Banach dans le fameux modèle de [[Robert M. Solovay|Solovay]] de Zermelo-Fraenkel (celui où tout ensemble de réels est Lebesgue-mesurable).</ref>.
