« Série des inverses des nombres premiers » : différence entre les versions
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Au {{IIIe siècle av. J.-C.}}, [[Euclide]] montra l'existence d'une infinité de [[nombre premier|nombres premiers]].
Au {{XVIIIe siècle}}, [[Leonhard Euler]] démontra un résultat plus fort :
<div style="margin-bottom:1em; padding:0.8em; border:1px solid #aaa; text-align:left;">
Supposons que la [[série (mathématiques)|série]] des inverses des [[nombre premier|nombres premiers]] soit convergente :▼
La somme des [[inverse]]s des nombres premiers diverge vers l'infini.
</div>
Cet article propose l'ensemble des démonstrations existantes, en général basées sur un [[raisonnement par l'absurde|démonstration par l'absurde]] :
=== Preuve par l'analyse ===
<math> \sum_{k=1}^\infty{1\over p_{k}} = c</math>▼
▲Supposons par l'absurde que la [[série (mathématiques)|série]] des inverses des [[nombre premier|nombres premiers]] soit convergente. Notons <math>p_i</math> le ''i''-ème nombre premier. Nous avons:
Il existe un [[nombre entier]] strictement [[nombre négatif|positif]] ''i'' tel que:▼
▲:<math> \sum_{k=1}^\infty{1\over p_{k}} = c</math>
▲Il existe un [[nombre entier]]
:<math> \sum_{k=1}^\infty{1\over p_{i+k}} < {1 \over 2}</math> (reste d'ordre ''i'' de la série)▼
Définissons N(''x'') comme le nombre d'entiers strictement positifs ''n'' inférieurs à ''x'' et qui ne sont pas [[divisible]]s par un nombre premier autre que les ''i'' premiers. Un tel entier ''n'' peut être écrit sous la forme <math>km^2</math> où ''k'' est [[entier quadratfrei]].▼
Puisque seulement les ''i'' premiers nombres premiers pourraient diviser ''k'', il y a au plus <math>2^i</math> choix pour ''k''. Conjointement avec le fait qu'il a au plus <math>\sqrt{x}</math> valeurs possibles pour ''m'', cela nous donne:▼
▲<math> \sum_{k=1}^\infty{1\over p_{i+k}} < {1 \over 2}</math> (reste d'ordre ''i'' de la série)
▲Définissons N(''x'') comme le nombre d'entiers strictement positifs ''n'' inférieurs à ''x'' et qui ne sont pas [[divisible]]s par un nombre premier autre que les ''i'' premiers.
▲Conjointement avec le fait qu'il a au plus <math>\sqrt{x}</math> valeurs possibles pour ''m'', cela nous donne:
▲<math>N(x) \le 2^i\sqrt{x}</math>
Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à ''x'' et divisibles par un nombre premier différent des ''i'' premiers est égal à ''x'' - N(''x'').
Puisque le nombre d'entiers inférieurs à ''x'' et divisible par ''p'' est au plus ''x''/''p'', nous obtenons:
:<math> x - N(x) < \sum_{k=1}^\infty{x\over p_{i+k}} < {x \over 2}</math> ou encore : <math> {x \over 2} < N(x) \le 2^i\sqrt{x} </math>▼
Mais cela est impossible pour tout ''x'' supérieur à <math> 2^{2i+2} </math>. D'où une contradiction.▼
=== Preuve par l'algèbre formelle ===
▲<math> x - N(x) < \sum_{k=1}^\infty{x\over p_{i+k}} < {x \over 2}</math>
▲Mais cela est impossible pour tout ''x'' supérieur à <math> 2^{2i+2} </math>.
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* [[Nombre premier]]
* Le [[constante de Brun|théorème de Brun]] : la série des inverses des [[nombres premiers jumeaux]] converge
===Liens externes===
* Chris K. Caldwell: «Il existe une infinité de nombres premiers, mais, quelle est la grandeur de cet infini ?», http://www.utm.edu/research/primes/infinity.shtml
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