Spirale d'or

En géométrie, une spirale d'or est une spirale logarithmique avec un facteur de croissance de $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\simeq 1,618$, appelé nombre d'or. Une spirale d'or devient plus large par un facteur de φ pour chaque quart de tour qu'elle fait.

La spirale d'or est autosimilaire, elle se répète à l'infini lorsqu'elle est agrandie.

La spirale de Fibonacci (courbe verte constituée de l'ensemble de quart de cercles tangents à chaque carré) est une approximation de la spirale d'or (courbe rouge). Les parties jaunes indiquent les portions où les deux courbes se superposent. Les côtés des carrés successifs respectent la proportion d'or.

Formule

La spirale d'or est la courbe d'équation polaire suivante :

$r=a\mathrm {e} ^{b\theta }\,$

ou encore :

$\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$

avec e la base des logarithmes naturels, a étant une constante réelle strictement positive arbitraire et b donné par :

$b={\frac {\ln {\varphi }}{\pi /2}}.$

Voir aussi

Spirale d'or sur Wolfram Alpha

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Golden spiral » (voir la liste des auteurs).