Système à minimum de phase

En traitement du signal et en théorie du contrôle, un système linéaire ne dépendant pas du temps est dit à minimum de phase si ce système et son inverse sont stables et causaux. On parle aussi de filtre à minimum de phase.

Pour un système discret, en supposant que la fonction de transfert $H(z)$ est rationnelle, ce système est à minimum de phase si et seulement si tous les pôles et zéros de $H(z)$ sont à l'intérieur du disque unité.

Pour un système continu, la condition pour que ce système soit à minimum de phase est que les pôles et zéros de transmission appartiennent au demi-plan gauche du plan complexe.

Interprétation

On considère dans ce qui suit un système discret, bien que l'interprétation se généralise pour un système continu.

Interprétation dans le domaine fréquentiel

Un système à minimum de phase a la propriété d'être le système qui, à une réponse en gain fixée, minimise le temps de propagation de groupe sur l'ensemble des fréquences.

Le déphasage à une pulsation $\omega$ est - à l'ajout d'une constante près - la somme des contributions de chaque zéro de $H(z)$. Soit $a$ un de ces zéros de module différent de 1, regardons de plus près sa contribution au temps de propagation de groupe. On note

$a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\mbox{ où }}\,\theta _{a}={\mbox{Arg}}(a).$

$a$ apparaît dans la fonction de transfert par le facteur $1-az^{-1}=1-ae^{-i\omega }$, dont la phase est

$\phi _{a}\left(\omega \right)={\mbox{Arg}}\left(1-ae^{-i\omega }\right)$

$={\mbox{Arg}}\left(1-|a|\cos(\omega -\theta _{a})+i|a|\sin(\omega -\theta _{a})\right).$

En dérivant l'arc tangente, on obtient que $\phi _{a}(\omega )$ contribue au temps de propagation de groupe par :

$-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}=-{\frac {(1-|a|\cos(\omega -\theta _{a}))^{2}}{(1-|a|\cos(\omega -\theta _{a}))^{2}+|a|^{2}\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})}}{\frac {|a|\cos(\omega -\theta _{a})(1-|a|\cos(\omega -\theta _{a}))-|a|^{2}\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})}{(1-|a|\cos(\omega -\theta _{a}))^{2}}}$

$-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {|a|^{2}-|a|\cos(\omega -\theta _{a})}{|a|^{2}-2|a|\cos(\omega -\theta _{a})+1}}$

$-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {|a|-\cos(\omega -\theta _{a})}{|a|+|a|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}$

Le dénominateur et $\theta _{a}$ restent inchangés par réflexion, c'est-à-dire en remplaçant $a$ par $1/a^{*}$ (les réflexions des zéros de $H(z)$ permettent d'obtenir les autres fonctions de transfert ayant la même réponse en gain). Il y a deux possibilités selon que $a$ se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur du disque unité : le choix $|a|<1$ permet de minimiser le temps de propagation de groupe.

Illustration du calcul ci-dessus. Ce graphique montre la réponse de deux filtres ayant le même gain (à gauche : le diagramme de Nyquist, à droite : la réponse en phase). Le filtre représenté en haut avec $a=0.8<1$ est à minimum de phase, il a la plus petite amplitude pour la réponse en phase.

Interprétation dans le domaine temporel

Un système à minimum de phase répond à une impulsion en concentrant l'énergie près de 0. Pour une réponse en gain fixée, le système à minimum de phase est celui qui minimise :

$\sum _{n=m}^{\infty }\left|h(n)\right|^{2}$

pour n'importe quel $m\in \mathbb {N}$ ($h$ est la réponse impulsionnelle).

Autres dénominations

• Un système à non minimum de phase est un système causal et stable dont l'inverse est instable. Les systèmes à non minimum de phase retiennent l'attention en théorie du contrôle car le contrôle d'un système en boucle fermé peut poser des problèmes de stabilité.
• Un système à maximum de phase est un système causal dont les zéros se trouvent en dehors du disque unité. Pour un filtre à réponse impulsionnelle finie, on passe d'un système à minimum de phase à un filtre à maximum de phase par la relation $H_{max}(z)=z^{-d}H_{min}(z^{-1})$ ou dans le domaine temporel $h_{max}(n)=h_{min}(d-n)$ avec $d$ le degré du système.
• Un système à phase linéaire est un système dont la réponse en phase est linéaire : le temps de propagation de groupe est constant.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Minimum phase » (voir la liste des auteurs).