Coordonnées bipolaires

Les coordonnées bipolaires sont un système de coordonnées orthogonales.

Le système de coordonnées bipolaires

Définition

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En un point du plan de coordonnées bipolaires (τ , σ) correspond le point

Géométriquement la coordonnée σ d'un point P est l'amplitude (signée) de l'angle entre le segment joignant les foyers (-a, 0) et (a, 0) et le cercle passant par le foyer (-a, 0), le point P et le foyer (a, 0). La coordonnée τ est quant à elle le logarithme du rapport entre la distance au foyer (a, 0) et la distance au foyer (-a, 0).

Notation complexe

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On a la correspondance pour l'affixe complexe :


Transformation inverse

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Pour déterminer les coordonnées bipolaires (τ , σ) à partir des coordonnées cartésiennes (x , y), on a

et

On remarque aussi que

et que