Série de Bertrand

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une série de Bertrand est une série de nombres réels de la forme :

\sum _{n}{\frac {1}{n^{\alpha }(\ln n)^{\beta }}}

,

où $α$ et $β$ sont deux nombres réels. Elles portent le nom du mathématicien Joseph Bertrand qui les a étudiées en 1842^[1].

Pour $\beta =0$ , on retrouve les séries de Riemann données par $\textstyle \sum _{n}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ .

Condition de convergence

Énoncé

Le résultat suivant énonce une condition nécessaire et suffisante de convergence pour les séries de Bertrand.

Théorème de Bertrand — La série de Bertrand associée à $α$ et $β$ converge si et seulement si $α > 1$ ou ( $α = 1$ et $β > 1$ ).

Démonstration par le critère intégral de Cauchy

La série de Bertrand a le même comportement que l'intégrale en $+\infty$ de la fonction

f:x\longmapsto {\frac {1}{x^{\alpha }(\ln x)^{\beta }}}

qui est définie et strictement positive sur $]1,+\infty[$ ), car $f$ est monotone au-delà d'une certaine valeur. On a donc la même conclusion que pour l'intégrale de Bertrand associée :

si $α > 1$ , la série converge ;
si $α < 1$ , elle diverge ;
si $α = 1$ , elle converge si et seulement si $β > 1$ .

On peut de plus remarquer que si $α < 0$ ou si $α = 0$ et $β \leq 0$ , alors $f$ est croissante au-delà d'une certaine valeur donc la divergence est grossière.

Démonstration par comparaison avec d'autres séries

Les cas $α \neq 1$ se traitent facilement par comparaison avec des séries de Riemann et croissances comparées.

Si $α = β = 1$ , la série diverge car son terme général est équivalent à celui, $\ln(\ln(n+1))-\ln \ln n$ , d'une série télescopique divergente. Par comparaison avec ce cas limite, on en déduit que la série diverge si $α = 1$ et $β \leq 1$ (et a fortiori si $α < 1$ ).