Théorème de Blichfeldt
En mathématiques, le théorème de Blichfeldt est le théorème suivant, démontré en 1914 par Hans Blichfeldt (de)[1],[2] :
Soit un entier . Dans toute région de ℝn de volume strictement supérieur à , et dans tout compact de volume , il existe points distincts dont les différences sont à coordonnées entières.
Ou, ce qui est équivalent :
Soit un réseau de ℝn de covolume . Dans toute région de ℝn de volume strictement supérieur à , et dans tout compact de volume , il existe points distincts dont les différences appartiennent à [3].
Une grande partie de la géométrie des nombres en résulte[4], à commencer par le théorème de Minkowski, que le cas suffit à redémontrer très rapidement[5].
Démonstrations
modifierConsidérons d'abord une « région » de ℝn (à prendre ici au sens : partie Lebesgue-mesurable), de « volume » (au sens de la mesure de Lebesgue) .
Les deux premières des trois démonstrations ci-dessous s'appuient sur le lemme suivant (qui, pour , est immédiat) :
Principe des tiroirs pour les mesures[6]. — Soient un espace mesuré et une famille au plus dénombrable de parties mesurables de .
Si alors il existe un point de appartenant à au moins de ces parties.
La preuve en est simple : en notant l'indicatrice de toute partie de , on a donc la fonction est strictement supérieure à en au moins un point.
- Les translatés du domaine fondamental par les vecteurs à coordonnées entières forment une partition de ℝn, donc leurs intersections avec forment une partition de . Or la mesure de Lebesgue est invariante par translation. Par conséquent :.D'après le principe des tiroirs, il existe donc au moins un point et vecteurs distincts tels que . Les points sont alors distincts, et leurs différences sont bien à coordonnées entières, ce qui termine la première démonstration[3].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Minkowski_4.jpg/220px-Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Minkowski_4.jpg)
- Supposons, sans perte de généralité, que est borné. On considère un entier m > 0, et à chaque vecteur α à coordonnées entières comprises entre 0 et m, on associe le translaté M + α. Pour δ tel que M soit inclus dans [–δ, δ]n, tous ces translatés sont inclus dans le pavé [–δ, m + δ]n, comme illustré sur la figure. Pour m assez grand, on a (m + 1)nλn(M) > k(m + 2δ)n, c'est-à-dire :.On conclut, comme dans la première démonstration, grâce au principe des tiroirs[7].
- Cette troisième démonstration ne s'applique que si est cubable. Pour tout entier , notons le nombre de points de appartenant à . Ce nombre est équivalent à quand , donc est strictement supérieur à pour suffisamment grand. Or modulo , les éléments de ne forment que classes. L'une d'entre elles contient donc au moins des points considérés, c'est-à-dire qu'il existe tel que contienne points distincts de . Les différences sont bien à coordonnées entières, ce qui termine cette troisième démonstration[8].
Considérons maintenant un compact de volume . D'après ce qui précède, pour tout entier , il existe un -uplet tel que pour , . La suite (à valeurs dans le compact produit ) possède une valeur d'adhérence , qui est alors aussi valeur d'adhérence de . Pour , appartient donc au fermé [9].
Notes et références
modifier- (en) H. F. Blichfeldt, « A new principle in the geometry of numbers, with some applications », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 15, , p. 227-235 (lire en ligne).
- (en) John W. S. Cassels, An Introduction to the Geometry of Numbers, Springer, (1re éd. 1959) (lire en ligne), p. 69.
- (en) Jesús A. De Loera, Raymond Hemmecke et Matthias Köppe, Algebraic and Geometric Ideas in the Theory of Discrete Optimization, SIAM, (lire en ligne), p. 41-42.
- (en) Carl Douglas Olds, Anneli Lax et Giuliana Davidoff, The Geometry of Numbers, MAA, , 174 p. (lire en ligne), chap. 9 (« A new principle in the geometry of numbers »), p. 119 : « The credit for this breakthrough goes to Hans Frederik Blichfeldt, who in 1914 published a theorem from which a great portion of the geometry of numbers follow ».
- (en) Pascale Gruber et Cornelis Gerrit Lekkerkerker, Geometry of Numbers, Wolters-Noordhoff et North-Holland, , 2e éd. (1re éd. 1969, 510 p.), 731 p. (lire en ligne), p. 42-43.
- (en) Pete L. Clark, « Geometry of numbers with applications to number theory », 2011-2012, Proposition 5.9, p. 30.
- Le cas du théorème de Blichfeldt est démontré ainsi dans (en) Carl Douglas Olds, Anneli Lax et Giuliana Davidoff, The Geometry of Numbers, MAA, , 174 p. (lire en ligne), p. 69-73.
- Gruber et Lekkerkerker 1987, p. 48.
- Cassels 1971, p. 70.