Théorème de Carnot (perpendiculaires concourantes)

En géométrie euclidienne, le théorème de Carnot (portant le nom de Lazare Carnot) donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites perpendiculaires aux côtés (étendus) d'un triangle soient concourantes. Ce théorème peut être considéré comme une généralisation du théorème de Pythagore.

Théorème de Carnot : si trois perpendiculaires aux côtés d'un triangle sont concourantes, alors les zones bleues et rouges ont la même aire totale.

Théorème

Dans un triangle $ABC$, on considère trois droites perpendiculaires en $P_{a}$, $P_{b}$, $P_{c}$ aux côtés $(BC)$, $(CA)$, $(AB)$ du triangle, respectivement.

Ces trois droites sont concourantes si et seulement si

$AP_{c}^{2}+BP_{a}^{2}+CP_{b}^{2}=BP_{c}^{2}+CP_{a}^{2}+AP_{b}^{2}$.

Démonstration du sens direct

Si le point de concours est F, on a d'après le théorème de Pythagore : $FC^{2}=FP_{a}^{2}+P_{a}C^{2}=FP_{b}^{2}+P_{b}C^{2}$, donc $FP_{b}^{2}-FP_{a}^{2}=CP_{a}^{2}-CP_{b}^{2}$ ; de même, $FP_{c}^{2}-FP_{b}^{2}=AP_{b}^{2}-AP_{c}^{2}$ et $FP_{c}^{2}-FP_{a}^{2}=BP_{a}^{2}-BP_{c}C^{2}$ ; la somme des trois égalités donne la relation de Carnot.

La réciproque est démontrée dans (Aassila 2018, p. 155).

Cas particuliers

Si le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, on peut prendre $P_{a}=C$, $P_{b}=A$ et $P_{c}=A$ ; alors $AP_{b}=0$, $AP_{c}=0$, $CP_{a}=0$, $CP_{b}=b$, $BP_{a}=a$ et $BP_{c}=c$. La relation du théorème de Carnot donne alors celle du théorème de Pythagore : $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Un autre corollaire est que les médiatrices du triangle sont concourantes. En prenant pour pieds des perpendiculaires les milieux des côtés, on a $AP_{c}=BP_{c}$, $BP_{a}=CP_{a}$ et $CP_{b}=AP_{b}$, de sorte que la relation de Carnot ci-dessus est vérifiée.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Carnot's theorem (perpendiculars) » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques : géométrie, Ellipses, 2018 (ISBN 9782340022898), p. 155
• Alfred S. Posamentier et Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, New York, Dover, 1996 (1^re éd. 1970), x+245 p. (ISBN 9780486134864, OCLC 829151719, lire en ligne), p. 85-86
• (de) Martin Wohlgemuth, « Ein Satz von Carnot », dans Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger: Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet, Heidelberg, Spektrum Akademischer Verlag, 2010, xvi+438 p. (ISBN 9783827426079, OCLC 699828882, DOI 10.1007/978-3-8274-2607-9, lire en ligne), p. 273-276

Liens externes

• Théorème de Carnot sur Géométrie interactive
• (de) Florian Modler, « Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot », sur matheplanet.com (consulté le 14 novembre 2023)
• (en) « Carnot's theorem », sur cut-the-knot.org (consulté le 14 novembre 2023)