Théorème de Casey

Le théorème de Casey est un théorème de géométrie démontré en 1881 par le mathématicien irlandais John Casey (1820-1891). Il constitue une généralisation du théorème de Ptolémée.

$(t_{12}\cdot t_{34})+(t_{14}\cdot t_{23})-(t_{13}\cdot t_{24})=0$

Énoncé du théorème

Soit $O$ un cercle de rayon $R$. Soient $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ quatre cercles, ne s'intersectant pas, intérieurs à $O$ et tangents à $O$, de rayons $R_{i},i=1\cdots 4$. Notons $t_{ij}$ la longueur du segment tangent extérieurement commun aux cercles $O_{i},O_{j}$. Alors :

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

Dans le cas dégénéré, où les quatre cercles se réduisent à des points, on obtient le théorème de Ptolémée.

Démonstration

Si $T_{i}$ est le point de contact du cercle $O_{i}$ avec $O$, le quadrilatère $T_{1}T_{2}T_{3}T_{4}$ étant inscriptible, on a la relation de Ptolémée : $T_{1}T_{2}.T_{3}T_{4}+T_{2}T_{3}.T_{4}T_{1}=T_{1}T_{3}.T_{2}T_{4}$.

La relation de Casey s'obtient à partir de l'expression $t_{ij}={\frac {T_{i}T_{j}}{R}}{\sqrt {(R-R_{i})(R-R_{j})}}$ .