Théorème de Hadwiger

Le théorème de Hadwiger est un théorème de géométrie intégrale (aussi appelée théorie des probabilités géométriques). Il caractérise les valuations sur les volumes convexes dans $\mathbb {R} ^{n}$. Le théorème a été prouvé par Hugo Hadwiger.

Préliminaires

Valuations

Soit $K^{n}$ la famille de tous les ensembles convexes et compacts dans $\mathbb {R} ^{n}$. Une valuation est une fonction $v:K^{n}\to \mathbb {R}$ telle que $v(\emptyset )=0$ et

$v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~.$

pour tous $S,T\in K^{n}$ tels que $S\cup T\in K^{n}$.

Une valuation est dite continue si elle est continue pour la métrique de Hausdorff. Une valuation est dite invariante par déplacements si $v(\phi (S)=v(S)$ pour $S\in K^{n}$ et pour toute fonction $\phi$ qui est une translation ou une rotation de $\mathbb {R} ^{n}$.

Intégrales quermass

Les intégrales quermass $W_{j}:K^{n}\to \mathbb {R}$ sont définies via la formule de Steiner :

$\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~,$

où $B$ est la boule euclidienne. Par exemple, $W_{0}$ est le volume, $W_{1}$ est proportionnel à la mesure de surface, $W_{n-1}$ est proportionnel à la largeur moyenne et $W_{n}$ est la constante $\mathrm {Vol} _{n}(B)$. $W_{j}$ est une valuation homogène de degré $n-j$, c'est-à-dire

$W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.$

Énoncé

Théorème de Hadwiger —  Toute valuation continue $v$ sur $K^{n}$ qui est invariante par déplacements peut être représentée sous la forme

$v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~.$

Corollaire

Toute valuation continue $v$ sur $K^{n}$ invariante par déplacements et homogène de degré $j$ est un multiple de $W_{n-j}$.

Notes et références

Une description et une preuve du théorème de Hadwiger sont données dans

• D. A. Klain et G.-C. Rota, Introduction to geometric probability, Cambridge, Cambridge University Press, 1997 (ISBN 0-521-59362-X, MR 1608265, lire en ligne).

Une autre preuve est donnée par D. A. Klain :

• D. A. Klain, « A short proof of Hadwiger's characterization theorem », Mathematika, vol. 42, n^o 2,‎ 1995, p. 329–339 (DOI 10.1112/s0025579300014625, MR 1376731)

Une preuve élémentaire et self-contained a été donnée par Beifang Chen dans

• Beifang Chen, « A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem », Geom. Dedicata, vol. 105,‎ 2004, p. 107-120 (DOI 10.1023/b:geom.0000024665.02286.46, MR 2057247)