Le théorème de Pythagore inversé concerne la hauteur DC d'un triangle ABC rectangle en C. Il spécifie que :
Visualisation.
1
C
D
2
=
1
A
C
2
+
1
B
C
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}.}
Il ne doit pas être confondu avec la réciproque du théorème de Pythagore , qui dit que pour un triangle ABC, si
A
B
2
=
B
C
2
+
A
C
2
{\displaystyle AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}}
, alors ABC est rectangle en C[ 1] .
Le théorème se démontre en remarquant d'abord que l'aire S du triangle ABC peut être exprimée de deux façons[ 2] :
S
=
A
B
×
C
D
2
{\displaystyle S={\frac {AB\times CD}{2}}}
et
S
=
A
C
×
B
C
2
{\displaystyle S={\frac {AC\times BC}{2}}}
On a donc :
A
B
×
C
D
=
A
C
×
B
C
{\displaystyle AB\times CD=AC\times BC}
D'où
A
B
2
×
C
D
2
=
A
C
2
×
B
C
2
{\displaystyle AB^{2}\times CD^{2}=AC^{2}\times BC^{2}}
C
D
2
=
(
A
C
×
B
C
)
2
A
B
2
{\displaystyle CD^{2}={\frac {(AC\times BC)^{2}}{AB^{2}}}}
En utilisant le théorème de Pythagore :
C
D
2
=
(
A
C
×
B
C
)
2
A
C
2
+
B
C
2
{\displaystyle CD^{2}={\frac {(AC\times BC)^{2}}{AC^{2}+BC^{2}}}}
d'où :
1
C
D
2
=
A
C
2
+
B
C
2
(
A
C
×
B
C
)
2
=
A
C
2
(
A
C
×
B
C
)
2
+
B
C
2
(
A
C
×
B
C
)
2
=
1
B
C
2
+
1
A
C
2
{\displaystyle {\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {AC^{2}+BC^{2}}{(AC\times BC)^{2}}}={\frac {AC^{2}}{(AC\times BC)^{2}}}+{\frac {BC^{2}}{(AC\times BC)^{2}}}={\frac {1}{BC^{2}}}+{\frac {1}{AC^{2}}}}
, cqfd.
↑ Dany-Jack Mercier , Cours de géométrie: préparation au CAPES et à l'agrégation , Editions Publibook, 2005 (ISBN 978-2-7483-0556-2 , lire en ligne ) , p. 182
↑ Francisco del Rey et Éric Dubon , Mathématiques d'excellence - Cours pour lycéens très motivés - Niveau Seconde , Editions Ellipses, 20 avril 2021 (ISBN 978-2-340-05550-6 , lire en ligne ) , p. 203