Théorème de Synge

En mathématiques, le théorème de Synge, démontré par John Lighton Synge en 1936, est un résultat classique de géométrie riemannienne sur la topologie d'une variété riemannienne complète à courbure positive. Il constitue une application de la formule de la variation seconde.

Théorème — Soit M une variété riemannienne complète de dimension paire et de courbure sectionnelle strictement positive.

• Si M est orientable alors elle est simplement connexe.
• Si M est non orientable alors son groupe fondamental est $Z/2Z$.

Démonstration

Supposons M orientable et de dimension paire et raisonnons par l'absurde. Supposons que M ne soit pas simplement connexe. Alors M possède une géodésique fermée minimisant la longueur dans sa classe d'homotopie libre. Soient $p:=\gamma (0)$ et $\theta :T_{p}M\rightarrow T_{p}M$ le transport parallèle le long de $\gamma$. Cette application $\theta$ est une isométrie linéaire ayant un point fixe, à savoir $\gamma '(0)=\gamma '(L)$. Comme la dimension de M est paire, l'orthogonal de $\gamma '(0)$ est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension impaire sur lequel $\theta$ définit une isométrie linéaire. En particulier, les questions de réductions montrent l'existence d'un vecteur orthogonal $v$ (choisi unitaire), tel que : $\theta v=v$.

Le transport parallèle de $v$ le long de $\gamma$ donne une section globale $V$ de $\gamma ^{*}TM\rightarrow S^{1}$. Introduisons une variation $c_{s}$ de lacets $L$-périodiques, avec $c_{0}=\gamma$ et $\partial _{s}c_{s}|_{s=0}=V$. La formule de la variation seconde donne :

${\frac {\partial ^{2}longc_{s}}{\partial s^{2}}}=-\int _{0}^{L}K(\gamma '(t),V(t))dt<0$

D'où une contradiction avec le choix de $\gamma$, donc M est simplement connexe.

Pour la seconde affirmation, il suffit de considérer un revêtement double orientable de M.

On peut démontrer par les mêmes techniques que toute variété riemannienne complète de dimension impaire et de courbure sectionnelle strictement positive est orientable.

Références

• (en) Manfredo Perdigão do Carmo, Riemannian geometry, Birkhäuser, 1992, 300 p. (ISBN 978-0-8176-3490-2)
• (en) John Lighton Synge, « On the connectivity of spaces of positive curvature », Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series), vol. 7,‎ 1936, p. 316–320.
• Alexandre Preissmann, Quelques propriétés globales des espaces de Riemann, thèse, 1942.

Article connexe

• Courbure positive