Théorèmes de Joachimsthal
En géométrie, les théorèmes de Joachimsthal sont des résultats sur les intersections de courbes coniques démontrés par Ferdinand Joachimsthal.
Théorème 1
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/JoachimsthalTheorem1.svg/350px-JoachimsthalTheorem1.svg.png)
Une ellipse centrée en O rencontre un cercle en quatre points distincts. Si on note θ1, ..., θ4 les angles à l'origin formés entre le grand axe de l'ellipse et le ie point, alors .
Théorème 2
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/JoachimsthalCircles.svg/220px-JoachimsthalCircles.svg.png)
On considère une ellipse de centre O, et un point P à l'intérieur de l'ellipse. De ce point P, on peut tracer quatre points sur l'ellipse qui sont les pieds de droites normales à l'ellipse. Alors, pour chacun de ces points, son symétrique par rapport à O est sur le cercle circonscrit au triangle formé par les trois autres pieds[1],[2].
Longchamps et Laguerre montreront aussi que le projeté orthogonal du centre de l'ellipse sur la droite tangente passant par ce point est aussi sur ce cercle[3].
Références
modifier- F. Joachimsthal, « Théorème relatif au cercle qui passe par trois points d'une ellipse », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 1850, no 39, (DOI 10.1515/crll.1850.39.138)
- A. Droz-Farny, « Sur l'hyperbole d'Apollonius », Mitteilungen der Naturforschenden Gesellschaft Bern, (DOI 10.5169/seals-319155, lire en ligne)
- H. Brocard, T. Lemoine, Courbes géométriques remarquables, Paris, Albert Blanchard, 1967 (réédition) (lire en ligne), p. 151-154