Théorème de Stampacchia

Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle. C'est un raffinement du théorème de Lax-Milgram.

Énoncé

Soient

$ℋ$ un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté $⟨ ., . ⟩$ (la norme induite étant notée $‖ u ‖ = ⟨ u, u ⟩^{1 / 2}$ ).
$K$ une partie convexe fermée non vide de $ℋ$
a(. ,.) une forme bilinéaire qui soit
- continue sur $ℋ \times ℋ$ : $\exists c > 0 \forall u, v \in ℋ ‖ a (u, v) ‖ \leq c ‖ u ‖ ‖ v ‖$
- coercive sur $ℋ$ : $\exists α > 0 \forall u \in ℋ a (u, u) \geq α ‖ u ‖^{2}$
$L (.)$ une forme linéaire continue sur $ℋ$

Sous ces conditions, il existe un unique $u$ de $K$ tel que

(1) \forall v \in K a (u, v - u) \geq L (v - u)

Si de plus la forme bilinéaire $a$ est symétrique, alors ce même $u$ est l'unique élément de $K$ qui minimise la fonctionnelle $I : ℋ \to ℝ$ définie par $I (v) = \frac{1}{2} a (v, v) - L (v)$ pour tout $v$ de $K$ , en particulier :

(2) \exists! u \in K I (u) = min_{v \in K} I (v)

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur $f \in ℋ$ tel que

\forall v \in ℋ, L v = ⟨ f, v ⟩ .

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu $A \in ℒ (ℋ)$ tel que

\forall u, v \in ℋ, a (u, v) = ⟨ A u, v ⟩ .

De plus, la norme de A est égale à celle de a, d'où

(3) \forall u \in ℋ ‖ A (u) ‖ \leq c ‖ u ‖

Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente

\exists! u \in K \forall v \in K ⟨ f - A (u), v - u ⟩ \leq 0

Pour tout réel $r$ strictement positif, c'est également équivalent à

\exists! u \in K \forall v \in K ⟨ r f - r A (u) + u - u, v - u ⟩ \leq 0

Ce qui, en utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, se réécrit

\exists! u \in K u = p_{K} (r f - r A (u) + u)

où $p_{K}$ est l'opérateur de projection sur $K$ . Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer que pour un certain $r > 0$ , il existe un unique $u \in K$ qui vérifie l'équation de point fixe $u = P_{r} (u)$ où l'application $P_{r} : K \to K$ est définie par $P_{r} (v) = p_{K} (r f - r A (v) + v)$ .

Pour cela, choisissons $r$ de telle façon que $P_{r}$ soit une application contractante. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $K$ . Comme l'opérateur de projection $p_{K}$ est 1-lipschitzien, on a

‖ P_{r} (x) - P_{r} (y) ‖ \leq ‖ x - y - r A (x - y) ‖

D'où

‖ P_{r} (x) - P_{r} (y) ‖^{2} \leq ‖ x - y ‖^{2} + r^{2} ‖ A (x - y) ‖^{2} - 2 r ⟨ x - y, A (x - y) ⟩

Comme la forme bilinéaire $a$ est coercive, on a $⟨ A (x - y), x - y ⟩ = a (x - y, x - y) \geq α ‖ x - y ‖^{2}$ . Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité $‖ A (x - y) ‖ \leq c ‖ x - y ‖$ . Par conséquent,

‖ P_{r} (x) - P_{r} (y) ‖^{2} \leq (1 + r^{2} c^{2} - 2 r α) ‖ x - y ‖^{2}

L'application $P_{r}$ est contractante dès que $1 + r^{2} c^{2} - 2 r α < 1$ , c'est-à-dire si on a $0 < r < 2 α / c^{2}$ . En choisissant un tel $r$ et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique $u \in K$ tel que $u = p_{K} (r f - r A (u) + u)$ , ce qui conclut la démonstration.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire $a$ est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur $ℋ$ . La coercivité implique que $a$ est définie et positive. On note par $⟨ ., . ⟩_{a}$ ce produit scalaire qui est défini par :

\forall x, y \in ℋ ⟨ x, y ⟩_{a} = a (x, y)

Par application du théorème de Riesz (Attention, pour utiliser le théorème de Riesz, il faut vérifier que l'espace muni du nouveau produit scalaire est bien de Hilbert : procéder par équivalence des normes) sur les formes linéaires, il existe un unique $f \in ℋ$ tel que $L (v) = ⟨ f, v ⟩_{a}$ pour tout $v \in ℋ$ .

La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :

\exists! u \in K \forall v \in K ⟨ f - u, v - u ⟩_{a} \leq 0

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

\exists! u \in K u = p_{K}^{a} (f)

où $p_{K}^{a}$ est l'opérateur de projection sur $K$ utilisant le produit scalaire défini par $a$ . La relation (1) est donc équivalente à :

⟨ f - u, f - u ⟩_{a} = min_{v \in K} ⟨ f - v, f - v ⟩_{a}

soit encore

⟨ u, u ⟩_{a} - 2 ⟨ f, u ⟩_{a} = min_{v \in K} (⟨ v, v ⟩_{a} - 2 ⟨ f, v ⟩_{a})

ou bien

\frac{1}{2} a (u, u) - L (u) = min_{v \in K} (\frac{1}{2} a (v, v) - L (v))

,

ce qui conclut la démonstration.

Applications

Ce théorème sert notamment en mécanique où $I$ est alors l'énergie potentielle ou complémentaire. C'est ce théorème qui donne les théorèmes énergétiques de mécanique.
Il permet également de démontrer l'existence et l'unicité de formulations faibles à des formulations variationnelles d'équations aux dérivées partielles elliptiques.
Voir un exemple d'application au problème de l'obstacle

Bibliographie

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

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