Pour trouver la capacité d'un tonneau, ou jaugeage, beaucoup de formules ont été proposées. Celles-ci sont en général approchées, une formule exacte nécessitant de connaître la forme précise du tonneau.
La forme générale des tonneaux consiste en une surface de révolution engendrée par une portion de courbe et terminée par deux plans parallèles équidistants de l'équateur. Le volume se calcule de la façon suivante :
![{\displaystyle V=\int S\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524b5a7d41393dfea772db5ff10545f1c620b60a)
Où
est la surface du disque de rayon
![{\displaystyle V=2\pi \int _{0}^{\frac {L}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb2d699420019cef8d59785623f6e758b3fd29f)
Les formes les plus usuelles sont données par les exemples qui suivent.
On choisit l'axe du tonneau comme axe de la parabole. L'équation de la parabole est de la forme
, avec
et
. Le polynôme s'intègre facilement, et on obtient :
![{\displaystyle V={\frac {\pi L}{60}}(8D^{2}+3d^{2}+4Dd)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6e22133deac0aa1dcc83e477e594ce746353c3)
Elle a pour équation
, où
et
. D'où la formule
qui s'intègre facilement elle aussi, et on obtient :
![{\displaystyle V={\frac {\pi L}{12}}(2D^{2}+d^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e97b052c11656c1705e6bd212025b087ff4e2e7)
On retrouve la formule d'Oughtred.
C'est la courbe qui vient immédiatement à l'esprit, car elle est facile à tracer au compas.
L'équation s'exprime par :
(cercle de centre H, de rayon R et passant par A et B), avec
et
. D'où
et finalement :
![{\displaystyle V=\pi \left(L\left(b^{2}+R^{2}-{\frac {L^{2}}{12}}\right)+2bR^{2}\left(\arcsin {\frac {L}{2R}}+{\frac {L}{2R}}{\sqrt {1-\left({\frac {L}{2R}}\right)^{2}}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea612e785ce4b24f453e871628dd998771e210ed)
Noter que si l'on réalise un développement limité à l'ordre 2 de cette formule suivant
, on retrouve la formule de la parabole donnée plus haut.
On prend
avec
et
, ce qui donne
et :
![{\displaystyle V={\frac {\pi D^{2}L}{8}}\left(1+{\frac {{\frac {d}{D}}{\sqrt {1-\left({\frac {d}{D}}\right)^{2}}}}{\arccos {\frac {d}{D}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b04f68e8d71b1e232a234977871f337a15efa0a)
Application numérique d'un cas réel. Les cotes sont en décimètres pour des résultats directs en litres.
- d = 6,06 dm (petit diamètre)
- D = 7,01 dm (diamètre du bouge)
- L = 8,05 dm (longueur)
- c = 7,68 dm (cas de la formule des Douanes)
- b = -13,79 dm (cas du cercle), pour mémoire, car b dépend de d, D et L
- R = 17,29 dm (cas du cercle), pour mémoire, car R dépend de d, D et L
Formule
|
Volume (litres)
|
Kepler (troncs de cônes)
|
270,48
|
Oughtred (ellipse)
|
284,52
|
Dez
|
279,91
|
Douanes
|
283,12
|
Pluviôse an VII
|
283,25
|
Parabole
|
283,76
|
Cercle
|
283,90
|
Cosinus
|
283,51
|
Volume d'un tonneau de section elliptique
modifier
Soient A et B les diamètres de la section elliptique du bouge, et soient a et b les diamètres des fonds.
Si on a des paraboles comme génératrices, on a les formules :
Dans le plan xOy :
Dans le plan xOz :
Volume partiel en fonction de la hauteur de liquide
modifier
La génératrice est la parabole d'équation :
Soit
la hauteur de liquide
Soit
et
les bornes maximales selon les valeurs de
et
Où
représente le segment circulaire, de rayon
, de flèche
.
Si
, alors
Si
, alors
Si
, alors
On considère ici aussi la parabole comme génératrice. Soit
cette surface
où
est la différentielle de l'abscisse curviligne.
L'intégration se fait par le changement de variable :
On arrive à :
Puis on ajoute les deux fonds :
Si
, alors
Si
, alors
Si
, alors
et en tenant compte d'un fond :
Si
alors
. Et si
le tonneau est plein. Voir supra.
La génératrice est la parabole.
La corde
au point d'abscisse
s'exprime par :
Si
,
Si
, alors
Si
, alors
La génératrice est la parabole
Si
le tonneau est vide, et si
le tonneau est plein.