Triangle heptagonal

Figure géométrique

En géométrie, le triangle heptagonal est le triangle, unique à similitude près, d'angles de mesures en radians π/7, 2π/7 et 4π/7, soit environ 26°, 51° et 103°. C'est l'unique triangle dont les angles sont dans des rapports 4:2:1.

L'heptagone régulier convexe (côtés rouges), avec ses diagonales longues (en vert) et courtes (en bleu). On compte quatorze triangles heptagonaux congruents constitués d'un côté vert, un bleu et un rouge.
Triangle heptagonal.

On l’obtient dans l'heptagone régulier convexe en partant d'un des sommets et en prenant les deuxième et quatrième sommets. Ses côtés sont donc constitués d'un côté de l'heptagone régulier, et deux de ses diagonales (une longue et une courte).

Comme le triangle d'or, dont les angles sont dans les rapports 2:2:1, le triangle heptagonal a de nombreuses propriétés remarquables.

Le triangle heptagonal et ses centres

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Le centre du cercle d'Euler du triangle heptagonal est aussi son premier point de Brocard[1]:Propos. 12. Le second point de Brocard se trouve sur le cercle d'Euler[2]:p. 19.

Le centre du cercle circonscrit et les points de Fermat du triangle heptagonal forment un triangle équilatéral[1]:Thm. 22.

En notant R le rayon du cercle circonscrit et r le centre du cercle inscrit, on peut exprimer la distance entre le centre du cercle circonscrit O et l'orthocentre H par[2]:p. 19

et la distance entre le centre du cercle circonscrit I à l'orthocentre par[2]:p. 19

Les deux tangentes au cercle circonscrit issues de l'orthocentre sont perpendiculaires[2]:p. 19.

Relations entre les distances

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Longueurs des côtés

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Les côtés du triangle heptagonal a < b < c coïncident, par définition, avec le côté de l'heptagone régulier, sa diagonale courte et sa diagonale longue. Ces trois longueurs vérifient[3]:Lemma 1

(la dernière est connue sous le nom d'équation optique (en)[2]:p. 13) et donc

et[3]:Coro. 2

Ainsi, les rapports b/c, c/a, et a/b sont les racines de l'équation cubique

Il n'existe aucune expression algébrique réelle pour les solutions de cette équation, car c'est un exemple de casus irreducibilis. On a cependant les approximations

On a aussi[4],[5]

qui vérifient l'équation cubique

On a [4]

qui vérifient l'équation cubique

On a [4]

qui vérifient l'équation cubique

On a [2]:p. 14

et[2]:p. 15

On a aussi[4]

Il n'existe aucun autre couple d'entiers strictement positifs (m, n), m, n > 0, m, n < 2000 tel que[réf. nécessaire]

Hauteurs

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Les hauteurs ha, hb et hc vérifient[2]:p. 13-14

et

[2]:p. 14.

La hauteur pour le côté b (d'angle opposé B) est la moitié de la bissectrice interne wA de A[2]:p. 19 :

Ici, l'angle A est le plus petit angle, et B le second plus petit.

Bissectrices internes

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Les longueurs des bissectrices internes wA, wB et wC (bissectrices des angles A, B et C respectivement) vérifient[2]:p. 16 :

Rayons des cercles circonscrit, inscrit et exinscrits

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On note R le rayon du cercle circonscrit au triangle heptagonal. Son aire vaut alors[6] :

On a aussi[2]:p. 12,15,[7]

De façon générale, pour tout entier n,

avec

et

on a[7]

On a aussi[4]

Le rapport r/R entre le rayon du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit est la racine positive de l'équation cubique[6]

Le rayon du cercle exinscrit au côté a est égal au rayon du cercle d'Euler du triangle heptagonal[2]:p. 15.

Triangle orthique

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Le triangle orthique du triangle heptagonal, dont les sommets sont les pieds des hauteurs, est semblable au triangle heptagonal, dans le rapport 12. Le triangle heptagonal est le seul triangle obtusangle qui est semblable à son triangle orthique (le triangle équilatéral est le seul triangle acutangle ayant la même propriété, et ce avec le même rapport de proportionnalité)[2]:pp. 12–13.

Le cercle circonscrit au triangle orthique du triangle heptagonal est le cercle d'Euler du triangle heptagonal.

Trigonométrie

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Les nombreuses identités trigonométriques associées au triangle heptagonal incluent[2]:pp. 13–14,[6]

[4]:Proposition 10

Par différentes méthodes (comme l'utilisation judicieuse de la formule de Moivre), on peut trouver les égalités suivantes :

La racine positive de l'équation cubique[8]:p. 186–187

est égale à

Avec les sinus

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Les racines de l'équation cubique[4]

sont

Les racines de l'équation cubique[2]:p. 14

sont

On a aussi[7] :

Pour un entier n, on pose S(n) = (–sin A)n + sinn B + sinn C. On a alors

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
S(n) 3
S(-n) 3 0 23 25

Avec les cosinus

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Les cosinus aux angles cos A, cos B, cos C sont les racines de l'équation cubique :

Pour un entier n, on pose C(n) = (-cos A)n + cosn B + cosn C. On a alors

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C(n) 3
C(-n) 3 -4 24 -88 416 -1824 8256 -36992 166400 -747520 3359744

Avec les tangentes

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Les tangentes aux angles tan A, tan B, tan C sont les racines de l'équation cubique :

Les carrés des tangentes aux angles tan2A, tan2 B, tan2 C sont les racines de l'équation cubique :

Pour un entier n, on pose T(n) = tann A + tann B + tann C. On a alors

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T(n) 3
T(-n) 3 5 19

Formules mixtes

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On a aussi[7],[9]

On a aussi[4]

On a aussi[10]

Identités de type Ramanujan

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On peut également obtenir des identités similaires à celles découvertes par Srinivasa Ramanujan[7],[11]

On a aussi[10]

Notes et références

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  1. a et b (en) Paul Yiu, « Heptagonal Triangles and Their Companions », Forum Geometricorum, vol. 9,‎ , p. 125–148 (lire en ligne).
  2. a b c d e f g h i j k l m n o et p (en) Leon Bankoff et Jack Garfunkel, « The heptagonal triangle », Mathematics Magazine, no 46 (1),‎ , p. 7–19 (DOI https://doi.org/10.1080/0025570X.1973.11976267, lire en ligne).
  3. a et b (en) Abdilkadir Altintas, « Some Collinearities in the Heptagonal Triangle », Forum Geometricorum, vol. 16,‎ , p. 249–256 (lire en ligne).
  4. a b c d e f g et h (en) Kai Wang, « Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities », Forum Geometricorum, vol. 19,‎ , p. 29–38 (lire en ligne).
  5. (en) Kai Wang, « On cubic equations with zero sums of cubic roots of roots ».
  6. a b et c (en) Eric W. Weisstein, « Heptagonal Triangle », sur MathWorld.
  7. a b c d et e (en) Kai Wang, « Trigonometric Properties For Heptagonal Triangle ».
  8. (en) Andrew Mattei Gleason, « Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon », The American Mathematical Monthly, vol. 95, no 3,‎ , p. 185–194 (DOI 10.2307/2323624, lire en ligne [archive du ]).
  9. (en) Victor Hugo Moll, An elementary trigonometric equation, https://arxiv.org/abs/0709.3755, 2007.
  10. a et b (en) Kai Wang, « Topics of Ramanujan type identities for PI?7 » (consulté le ).
  11. (en) Roman Wituła et Damian Słota, « New Ramanujan-Type Formulas and Quasi-Fibonacci Numbers of Order 7 », Journal of Integer Sequences, vol. 10,‎ .