Type et cotype d'un espace de Banach

Le type et le cotype d'un espace de Banach sont une classification des espaces de Banach et une mesure de la distance entre un espace de Banach et être un espace de Hilbert.

Le point de départ est l'identité pythagoricienne d'un espace de Hilbert. Dans un espace de Hilbert, les vecteurs orthogonaux $(e_{k})_{k=1}^{n}$ ont l'identité

$\left\|\sum _{k=1}^{n}e_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left\|e_{k}\right\|^{2}.$

Ce n'est plus le cas dans les espaces généraux de Banach. L'orthogonalité est formulée dans la définition à l'aide de variables aléatoires de Rademacher, c'est pourquoi on parle aussi de type de Rademacher et de cotype de Rademacher.

Définition

Soit $(X,\|\cdot \|)$ un espace de Banach. Soit $(\varepsilon _{i})$ une suite de variables aléatoires de Rademacher indépendantes, c'est-à-dire $P(\varepsilon _{i}=-1)=P(\varepsilon _{i}=1)=1/2$ et $\mathbb {E} [\varepsilon _{n}\varepsilon _{m}]=0$ pour $n\neq m$ et $\operatorname {Var} [\varepsilon _{i}]=1$.

Type

$X$ est de type $p$ avec $p\in [1,2]$ si une constante finie $C\geq 1$ existe tel que

$\mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{p}\right]\leq C^{p}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)$

pour toute suite finie $(x_{i})_{i=1}^{n}\in X^{n}$. On écrit pour la meilleure constante $T_{p}(X)$.

Cotype

$X$ est de cotype $q$ avec $q\in [2,\infty ]$ si une constante finie $C\geq 1$ existe tel que

$\mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{q}\right]\geq {\frac {1}{C^{q}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{q}\right),\quad {\text{si}}\;2\leq q<\infty$

respectivement

$\mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|\right]\geq {\frac {1}{C}}\sup \|x_{i}\|,\quad {\text{si}}\;q=\infty$

pour toute suite finie $(x_{i})_{i=1}^{n}\in X^{n}$. On écrit pour la meilleure constante $C_{q}(X)$.

Propriétés

• Un espace de Banach est de type $2$ et de cotype $2$ si et seulement s'il est isomorphe à un espace de Hilbert, alors l'identité pythagoricienne est vraie.
• Un espace de Banach de type $p$ est aussi de type $p'\in [1,p]$.
• Un espace de Banach de cotype $q$ est aussi de cotype $q'\in [q,\infty ]$.
• Tout espace de Banach est de type $1$ (découlant de l'inégalité triangulaire).
• L'équation peut également être écrite sous forme abrégée en utilisant la norme de Bochner-Lebesgue.
• L'espace dual $X^{*}$ d'un espace de Banach de type $p$ (avec $1<p\leq 2$) est de cotype $p^{*}$, où $p^{*}$ est l'index conjugué $p^{*}:=(1-1/p)^{-1}$ est. De plus, $C_{p^{*}}(X^{*})\leq T_{p}(X)$ s'applique.

Exemples

• Les espaces $L^{p}$ pour $p\in [1,2]$ sont de type $p$ et cotype $2$, c'est-à-dire $L^{1}$ est de type $1$, $L^{2}$ est de type $2$ etc.
• Les espaces $L^{p}$ pour $p\in [2,\infty )$ sont de type $2$ et cotype $p$.
• $L^{\infty }$ est de type $1$ et cotype $\infty$.

Bibliographie

• Daniel Li et Hervé Queffélec, Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 2017 (DOI 10.1017/CBO9781316675762.009)
• M. Ledoux et M. Talagrand, Probability in Banach Spaces, vol. 23, Berlin, Heidelberg, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete », 1991 (DOI 10.1007/978-3-642-20212-4_11)
• Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Springer New York, 1984
• Laurent Schwartz, Geometry and Probability in Banach Spaces, Springer Berlin Heidelberg, 2006