Univers de von Neumann

En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, l'univers de von Neumann, ou hiérarchie cumulative de von Neumann, est la classe notée V des ensembles purs ou héréditaires qui sont des ensembles bien fondés, au sens où la relation d'appartenance sur la clôture transitive de chacun de ces ensembles est bien fondée. En théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC) avec axiome de fondation, la hiérarchie cumulative de von Neumann décrit la classe de tous les ensembles. La hiérarchie cumulative de von Neumann décrit dans tout modèle de la théorie ZFC sans nécessairement l'axiome de fondation, un modèle de la théorie ZFC avec l'axiome de fondation.

Ce concept est nommé d'après John von Neumann, bien qu'il ait été publié pour la première fois par Ernst Zermelo en 1930.

Le rang d'un ensemble bien fondé est défini de façon récursive comme le plus petit nombre ordinal plus grand que les rangs de tous les membres de l'ensemble. En particulier, le rang de l'ensemble vide est zéro, et chaque ordinal a un rang égal à lui-même. Les ensembles de V se répartissent dans une hiérarchie transfinie V_α, appelée hiérarchie cumulative, en fonction de leur rang.

Définition

Un segment initial de l'univers de von Neumann. La multiplication des nombres ordinaux est écrite en sens inverse de la convention usuelle (voir Opérations arithmétiques sur les ordinaux).

La hiérarchie cumulative est une collection d'ensembles V_α indexée par la classe des nombres ordinaux. En particulier, V_α est l'ensemble de tous les ensembles de rang inférieur à α. Il y a donc un ensemble V_α pour chaque nombre ordinal α. V_α peut être défini par récurrence transfinie ainsi :

• On définit V₀ comme l'ensemble vide :

  $V_{0}:=\varnothing$.

• Étant donné un nombre ordinal β, on définit V_β+1 comme l'ensemble des parties de V_β :

  $V_{\beta +1}:={\mathcal {P}}(V_{\beta })$.

• Étant donné un ordinal limite λ, on définit V_λ comme l'union de toutes les étapes précédentes :

  $V_{\lambda }:=\bigcup _{\beta <\lambda }V_{\beta }$.

La relation « x ∈ V_α » est donc définie par une formule du langage de ZF.

L'univers V est défini comme la réunion, au sens intuitif, de tous les V_α, c'est-à-dire que c'est la classe définie par la formule du langage de ZF V[x] :

V[x] := ∃ α (α est un ordinal et x ∈ V_α).

Voici une représentation graphique des premières étapes finies V₀ jusqu'à V₄. Le carré vide représente l'ensemble vide, un carré contenant ce carré vide représente l'ensemble ne contenant que l'ensemble vide, et ainsi de suite :

Les 5 premières étapes

Une définition équivalente et plus compacte des V_α consiste à écrire :

$V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta })$

pour chaque ordinal α, où ${\mathcal {P}}(X)\!$ est l'ensemble des parties de $X$.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Von Neumann universe » (voir la liste des auteurs).

Références

• Dmitry Mirimanoff, « Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles », L'Enseignement mathématique, vol. 19,‎ 1917, p. 37 à 52
• (en) Gregory H Moore, Zermelo's axiom of choice: Its origins, development & influence, Dover Publications, 2013 (1^re éd. 1982) (ISBN 978-0-486-48841-7)
• (en) Jean E. Rubin, Set Theory for the Mathematician, San Francisco, Holden-Day, 1967 (lire en ligne )

Articles connexes

• Univers (logique)
• Univers constructible de Gödel
• Univers de Grothendieck
• Cardinal inaccessible