Acx01b

ébauche de contenu pour les articles en lien avec corps fini

merci de ne pas supprimer

les corps finis

Le corps fini $K = 𝔽_{p}$ avec $p$ premier est un corps commutatif cyclique.

$q = p^{d}$

$p - 1$ divise $q - 1 = (p - 1) (1 + p + \dots p^{d - 1})$

Soit le polynôme $X^{q - 1} - 1 = 0$ de $K [X]$

Supposons qu'il existe un corps $L \supset K$ tel que $X^{q - 1} - 1 = \prod_{i = 1}^{N} X - ρ_{i}$ avec $ρ_{i} \in L [X]$

soit $G = {ρ_{1}, \dots ρ_{N}}$ l'ensemble des racines de $X^{q - 1} - 1$

alors $N = q - 1$ et $(G, \times)$ est un groupe commutatif

en effet $ρ_{a} \times ρ_{b}$ est racine de $X^{q - 1} - 1$ et $(ρ_{i})^{- 1} = (ρ_{i})^{q - 2}$

de plus ce groupe est cyclique : $G = {g^{0}, g^{1}, \dots, g^{q - 2}}$ (pourquoi ?)

le problème est donc de savoir si $(G \cup {0}, +)$ est un groupe et donc si $(G \cup {0}, +, \times)$ est un corps et donc $L = (G \cup {0}, +, \times)$ .

${1, \dots, p - 1} \subset G$ puisque $(G, \times)$

On va créer de toute pièce un corps fini commutatif à q=p^d éléments, où p est un nombre premier. On note ce corpsK_q.

D'abord on fabrique le groupe multiplicatif $(K_{q}, \times)$ : c'est un groupe cyclique à q-1 éléments. Il a donc un générateur g, et les éléments sont

 ${1 = g^{0}, g^{1}, g^{2} \dots g^{q - 2}}$

La multiplication est donc définie comme ceci : $g^{a} \times g^{b} = g^{a + b}$

Ensuite, on fabrique le groupe additif :

$x + 0 = 0$

$x + y = z$

g^{a} + g^{b} = g^{c}

L'addition est donc définie par une table d'addition à $q \times (q - 1)$ entrées.

Mais pour que la multiplication soit distributive sur l'addition, il faut que :

$x (y + z) = x y + x z$

$g^{a} (g^{b} + g^{c}) = g^{a + b} + g^{a + c}$

ou encore :

$g^{a} + g^{b} = g^{a} (1 + g^{b - a})$

ainsi, il suffit de connaitre le résultat de

$g^{k} + 1$

soit q-1 valeurs pour connaitre toute la table d'addition.

Quelle est la structure du groupe additif ? L'approche polynomiale nous dit que c'est un groupe commutatif produit de $d$ groupes cycliques à $p$ éléments.

$g^{k} + \underset{p}{\underset{⏟}{1 + \dots + 1}} = g^{k} + p = g^{k}$

puisque $p = 0$

de la même manière,

$\forall x, p x = 0$

$\underset{p}{\underset{⏟}{x + \dots + x}} = 0$