Utilisateur:Alaind0/Algèbre (mathématiques élémentaires)

L'algèbre élémentaire est la première approche de l'algèbre dans le cursus scolaire, c'est une branche des mathématiques qui se différencie de l'arithmétique par l'introduction de symboles ( $a$ , $b$ , $c$ , ..., $x$ , $y$ , $z$ , ..., $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , ...) représentant des quantités inconnues et auxquels sont appliqués les mêmes règles de calculs que s'il s'agissait de nombres.

Il est ainsi possible :

d'effectuer des opérations sur des quantités inconnues.
d'établir des identités telles que les identités remarquables.

La résolutions d'équations et d'inéquations, l'étude des polynômes sont des applications de l'algèbre.

Notations

Les notations actuelles ne sont apparues que tardivement.

L'addition est notée $+$
La multiplication est noté $\times$
L'égalité est noté $=$

Expression algébrique

Une expression algébrique consiste en l'écriture de nombres, opérations, et d'inconnues en respectant certaines règles :

un nombre seul ou une inconnue seule constitue une expression algébrique;
Si $A$ est une expression algébrique, alors $-A$ et $\left(A\right)$ constitue des expressions algébriques;
Si $A$ et $B$ sont deux expressions alors $A+B$ , $A-B$ , $A\times B$ et ${\frac {A}{B}}$ constituent des expressions algébriques.

Par exemple :

${\frac {x+3}{x}}$ et $a+b+c$ sont deux expressions algébriques.
$3-\times x+$ n'est pas une expression algébrique.

Évaluer une expression algébrique consiste à attribuée une valeur à chacune des inconnues, puis à effectuer le calcul arithmétique obtenu.

Par exemple évaluer l'expression $x^{2}+x-1$ pour $x=2$ consiste à effectuer le calcul $2^{2}+2-1$ .

Transformation d'écriture ???

Deux expressions algébriques sont dite (égale|équivalente) ??? lorsque évaluées pour toutes les valeurs possibles des inconnues elles donnent le même résultat :

$x+1=1+x$ : cette propriété est appelée commutativité.

$x+1\not =2x+1$ : pour $1$ , $x+1=2$ et $2x+1=3$ , les évaluations sont différentes donc les expressions $x+1$ et $2x+1$ sont différentes.

--> calcul algébrique

Factorisation et développement

Factoriser une expression algébrique, $E$ , consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'un produit de deux ou plusieurs expressions ( $A$ , $B$ , ...) :

E=A\times B\times \cdots

Chacune des expressions $A$ , $B$ , ... est appelée un facteur.

Développer une expression algébrique, $E$ , consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'une somme (ou différence) de deux ou plusieurs expressions. ( $A$ , $B$ , ...) :

E=A+B+\cdots

Chacune des expressions $A$ , $B$ , ... est appelée un terme.

Exemple de résolution algébrique d'un problème

Problème simple : 2 billets valent 100 euros. Que vaut un billet ? Nous pouvons faire abstraction de la nature du billet (euro, rouble, dollar, ...), la résolution du problème sera toujours la même.

En notant $x$ la valeur d'un billet, le problème se traduit par l'équation $2x=100$ .

En divisant chacun des membres par 2, on obtient $x=50$ .

Propriété des opérations

Article détaillé : Calcul algébrique.

Voir aussi

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Pour approfondir

Algèbre

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