Utilisateur:Alexandre alexandre/Brouillon10

${\begin{array}{l}a^{0}=1\\a^{1}=a\\a^{2}=a\times a\\a^{3}=a\times a\times a\end{array}}$

Premières puissances d'un nombre a

En algèbre, une puissance d'un nombre réel est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre avec lui-même. Elle est souvent notée en assortissant le nombre d'un entier en exposant, qui indique le nombre de fois qu'apparaît le nombre comme facteur dans cette multiplication. Cette notion peut se généralisée dans deux directions : l'exposant peut prendre des valeurs négatives, rationnelles et même réelles ; la nature du nombre à multiplier peut changer. On renvoie alors a l'article plus détaillé exponentiation.

Puissance à exposant positif et premières règles de calcul

On considère un nombre réel a quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance énième de a, notée aⁿ et lue « a puissance n », ou « a exposant n » est le résultat de la multiplication de ce nombre a par lui-même n fois :

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n{\text{ facteurs}}}$

Le nombre n est appelé l'exposant de la puissance aⁿ. On remarque facilement que, quel que soit l'entier naturel n non nul, $0^{n}=0$ ainsi que $1^{n}=1$. Tout aussi simplement on constate les règles de calcul suivantes valable pour tout nombres réels a et b et tout entier naturel m,n>0 (on omet le symbole $\times$ pour alléger les écritures):

• $a^{m}a^{n}=a^{m+n}{\text{ car }}a^{m}a^{n}=(\underbrace {a\dots a} _{n{\text{ facteurs}}})(\underbrace {a\dots a} _{m{\text{ facteurs}}})=\underbrace {a\dots a} _{m+n{\text{ facteurs}}}=a^{m+n}$ ;
• $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}{\text{ car }}(ab)^{n}=\underbrace {ab\dots ab} _{n{\text{ facteurs}}}=\underbrace {a\dots a} _{n{\text{ facteurs}}}\underbrace {b\dots b} _{n{\text{ facteurs}}}=a^{n}b^{n}$
• $(a^{m})^{n}=a^{mn}{\text{ car }}(a^{m})^{n}=\underbrace {a^{m}\dots a^{m}} _{n{\text{ facteurs}}}=\underbrace {\underbrace {a\dots a} _{n{\text{ facteurs}}}\dots \underbrace {a\dots a} _{n{\text{ facteurs}}}} _{n{\text{ facteurs}}}=\underbrace {a\dots a} _{mn{\text{ facteurs}}}=a^{mn}$

Il faut remarquer que ce sont exactement ces règles qu'on suit lorsqu'on additionne n fois un nombre avec lui même pour obtenir na. A l'instar de la multiplication, on va étendre la notion de puissance à des exposants non-nécessairement entiers. Les définitions feront en sorte de conserver ces formules. Remarquons enfin qu'on utilise implicitement les puissances dans notre façon d'érire les nombres, dite positionnelle à base dix : en effet 12345 désigne le nombre $1000+200+30+4=1.10^{4}+2.10^{3}+3.10^{2}+4.10^{1}+5$.

Puissance à exposant négatif

Tout d'abord, pour étendre les formules précédentes à n=0, on doit nécessairement définir $a^{0}=1$. Inversement cette définition colle bien avec toutes les formules précédentes. Maintenant, pour n entier négatif on voudrait avoir $1=a^{0}=a^{n-n}=a^{n}a^{-n}$ et de remarquer que si a est non-nul alors il en est de même de sa puissance -nieme (ici -n est entier et on sait ce que celà signifie) ce qui autorise à diviser et ainsi définir $a^{n}={\frac {1}{a^{-n}}}$ pour tout a non-nul. On vérifie qu'avec cette définition toutes les formules restent vraies.

Par exemple $2^{-1}={\frac {1}{2}}=0,5$ et $10^{-5}={\frac {1}{10^{5}}}={\frac {1}{100000}}=0,00001$. Les exposant négatif sont très util lorsqu'on veut exprimer des petites valeurs, ce qui arrive souvent en physique : on préfère écrie que deux nanomètre valent $2.10^{-9}$ mètre que 0,000000002 mètre. C'est très pratique pour comparer deux réels, par exemple on voit tout de suite que $9,856.10^{5}<1,001.10^{6}$.

Puissances de dix

Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.

Table des puissances de dix

Puissance de dix négatives ou nulle	Préfixe		Puissance de dix positives ou nulle	Préfixe
10⁰ = 1	-		10⁰ = 1	-
10⁻¹ = 0,1	d (déci-)		10¹ = 10	da (déca-)
10⁻² = 0,01	c (centi-)		10² = 100	h (hecto-)
10⁻³ = 0,001	m (milli-)		10³ = 1 000	k (kilo-)
10⁻⁴ = 0,000 1	-		10⁴ = 10 000	-
10⁻⁵ = 0,000 01	-		10⁵ = 100 000	-
10⁻⁶ = 0,000 001	µ (micro-)		10⁶ = 1 000 000	M (méga-)
etc.	etc.		etc.	etc.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière positive n est un chiffre 1 suivi de n zéros.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière négative -n est un 1 placé à la n ^e position dans un nombre décimal, i. e. précédé de n zéros en comptant celui avant la virgule.

On utilise fréquemment les puissances multiples de 3, qui correspondent aux préfixes du système international :

Table des puissances de dix multiples de trois

Puissance de dix négatives	Préfixe SI		Puissance de dix positives	Préfixe SI
10⁻³ = 0,001 un millième	m (milli-)		10³ = 1 000 mille	k (kilo-)
10⁻⁶ = 0,000 001 un millionième	µ (micro-)		10⁶ = 1 000 000 un million	M (méga-)
10⁻⁹ = 0,000 000 001 un milliardième	n (nano-)		10⁹ = 1 000 000 000 un milliard	G (giga-)
10⁻¹² = 0,000 000 000 001 un millième de milliardième	p (pico-)		10¹² = 1 000 000 000 000 mille milliard ou un billion (anglicisme)	T (téra-)
etc.	etc.		etc.	etc.

Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc multiplier par 10ⁿ pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite ; diviser par 10ⁿ pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi,

• 325,72 × 10 = 3 257,2
• 325,72/10 = 32,572
• 325,72 × 10⁵ = 32 572 000
• 325,72/10⁵ = 0,003 257 2

Il faut savoir que ce sont la base des théories pour faire tous les calculs par la suite.

Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.

L'utilisation des puissances de 10 intervient :

• dans l'écriture explicite en base 10 :

325,72 = 3·10² + 2·10¹ + 5·10⁰ + 7·10⁻¹ + 2·10⁻² ;

• dans l'écriture scientifique des nombres décimaux :

325,72 est noté 3,257 2 × 10²

où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, appelé mantisse, compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appelée exposant ;

• et dans la notation ingénieur :

325,72 est noté 325,72

32 572 est noté 32,572 × 10³

où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.

Vers l'exponnentielle

Parti en si bon chemin, on se demande comment définir $a^{q}$ pour un rationnel q. Encore une fois on va chercher à conserver la règle $(a^{m})^{n}=a^{mn}$. Ainsi si $q={\frac {m}{n}}$ on voudrait avoir $\left(a^{\frac {m}{n}}\right)^{n}=a^{{\frac {m}{n}}n}=a^{m}$ et il faut donc justifier qu'il existe bien un nombre réel qui élevé à la puissance n donne $a^{m}$. Il y'a une première obstruction due au signe : si l'exposant n est pair alors n'importe quel nombre à cette puissance sera positif (moins fois moins égal plus) alors qu'il se pourrait que $a^{m}$ soit négatif, par exemple si a est négatif et m impair. C'est en fait le seul obstacle : on peut montrer que si y est positif, il existe un unique réel x tel que $x^{n}=y$. C'est lui qu'on appelle, racine n-ième de y. L'exemple le plus simple est la racine carrée d'un nombre : ${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$ pour tout réel positif x.

On vérifie alors que cette définition ne dépend pas du choix de $q={\frac {m}{n}}={\frac {k}{l}}$ et continue à faire marcher les formules. Comme on ne veut toujours pas s'arreter, on souhaite définir $a^{x}$ pour x réel (en gardant la restriction a positif). On peut alors approcher x par une suite de rationnel, disons $(q_{n})_{n}$ et vérifier que $(a^{q_{n}})_{n}$, qui a bien un sens, converge bien vers un réel, et ce indépendemment du choix de la suite $(q_{n})_{n}$. Cette limite commune définit $a^{x}$. On peut alors définir pour tout nombre positif a une fonction de x réel : celle-ci vérifie encore les formles $a^{x+y}=a^{x}a^{y}$. La question réciproque, de savoir qu'elle sont les fonctions vérifiant cette formule conduit à une définition des fonctions exponentielles.

Voir aussi

• Fonction puissance

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