Utilisateur:Chabbabi/Brouillon

En mathématiques, la transformation de Aluthge est une opération définie sur l'ensemble des opérateurs d'un espace de Hilbert , c'est un outil important pour étudier certain classe d'opérateur.

Elle possède des propriétés remarquables et, de fait, elle est étudiée et utilisée dans de nombreux articles.

Si $H$ est un espace de Hilbert complexe, en général on note par $B(H)$ l'algèbre des opérateurs linéaires continues de $H$ dans lui même.

Définition

Une application linéaire est dite une isométrie partielle $U\in {\mathcal {B}}(H)$ sur un espace de Hilbert $H$ , si $U^{*}U$ une projection orthogonal ( autrement dit $UU^{*}U=U$ ).

Théorème de la décomposition polaire

Soit $T\in B(H)$ une application linéaire continue, elle existe une unique isométrie partielle $U$ telle que $T=U|T|$ où $|T|$ est la racine carré de l'opérateur $T^{*}T$ par le calcul fonctionnel continue ^[1] avec $T^{*}$ est l'opérateur adjoint de $T$ .

A partir de la décomposition polaire de l'opérateur $T$ , on définit la transformation de Aluthge d'un opérateur $T$ comme ci-dessous.

Définition

Soit $T\in {\mathcal {B}}(H)$ et $T=U|T|$ sa la décomposition polaire. Alors la transformation de Aluthge de l'application $T=U|T|$ est définie par $\Delta (T)$ $=|T|^{\frac {1}{2}}U|T|^{\frac {1}{2}}$ . En d'autres termes la transformation

de Aluthge est une application $\Delta :\left\lbrace {\begin{array}{ccc}B(H)&\to &B(H)\\T=U|T|&\mapsto &|T|^{\frac {1}{2}}U|T|^{\frac {1}{2}}\end{array}}\right.$ .

Plus généralement, on peut définir de manière analogue la transformation de Aluthge généralisée d'un opérateur $T$ , de décomposition polaire $T=U|T|$ .

Pour tout nombre réel $\lambda \in [0,1]$ , on appelle $\lambda$ -transformation de Aluthge de l'opérateur $T$ , qu'on note par $\Delta _{\lambda }(T)=|T|^{\lambda }U|T|^{1-\lambda }$ .

Exemple

Soit ${\mathcal {H}}$ un espace de Hilbert complexe muni de son produit scalaire noté $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ , de norme associée notée $\|\cdot \|$ .
Pour deux vecteurs $x,y\in {\mathcal {H}}$ , on note en général par $x\otimes y$ , l'opérateur de rang 1 suivant le vecteur $x$ définit comme pour tout $z\in {\mathcal {H}}$ , $x\otimes y(z)=<z,y>x$ .
Pour ce type d'opérateur on peut calculer la transformation de Aluthge et on a $\Delta _{\lambda }(x\otimes y)={\frac {<x,y>}{\lVert y\rVert ^{2}}}y\otimes y$ ^[2].