Utilisateur:Flaja/Brouillon Amplitude de Probabilité

En mécanique quantique, l'amplitude de probabilité (ou fonction d'onde) $\Psi (\mathbf {x} ,t)$ décrit tout ce que nous savons sur une particule (ou un système de particules) : elle représente l'état quantique de la particule.

Pour une particule seule, en mécanique quantique non relativiste, l'amplitude de probabilité est une fonction scalaire à valeurs complexes : $\psi (\mathbf {x} ,t):\mathbf {R} ^{4}\rightarrow \mathbf {C}$

Elle permet de connaître toute l'information disponible sur la particule, en particulier :

La probabilité que la particule soit dans le volume $V$ : $P(\mathbf {x} \in V,t)=\int _{V}|\Psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {x}$ ,

où $\rho =|\Psi |^{2}$ représente la densité de probabilité de présence de la particule.

L'énergie de la particule : $E(t)=\int _{\mathbf {R} ^{3}}\Psi ^{*}(\mathbf {x} ,t)\;i\hbar \;{\frac {\partial \Psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}d\mathbf {x}$ ,

Sa quantité de mouvement : $\mathbf {p} (t)=\int _{\mathbf {R} ^{3}}\Psi ^{*}(\mathbf {x} ,t)\;(-i\hbar )\;\nabla \Psi (\mathbf {x} ,t)d\mathbf {x}$ .

Évolution dans le temps

L'amplitude de probabilité obéït à l'équation Schrödinger : $i\hbar \;{\frac {\partial \Psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}={\hat {H}}(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},t)\;\Psi (\mathbf {x} ,t)$

Mécanique quantique non relativiste

Particule unique

États stationnaires

Si l'Hamiltonien ${\hat {H}}(\mathbf {x} )$ ne dépend que de la position, la fonction $\Psi (\mathbf {x} ,t)$ peut être séparée : $\Psi (\mathbf {x} ,t)=\psi (\mathbf {x} )\;\phi (t)$

L'état réel du système peut être décomposé en superposition d'états propres des équations :

$i\hbar \;{\frac {\partial \phi (t)}{\partial t}}=E\;\phi (t)$ d'où la solution $\phi (t)=e^{-iEt/\hbar }$

$E\;\psi (\mathbf {x} )={\hat {H}}(\mathbf {x} )\;\psi (\mathbf {x} )$

Si les états propres sont discrets (finis ou dénombrables) : $\Psi (\mathbf {x} ,t)=\sum _{n}\Psi _{n}(\mathbf {x} ,t)$ ,

Si les états propres sont continus : $\Psi (\mathbf {x} ,t)=\int _{\mathbf {R} ^{3}}\Psi _{p}(\mathbf {x} ,t)\;d\mathbf {p}$

Particule de quantité de mouvement et d'énergie $(\mathbf {p} ,E)$ déterminées

L'amplitude de probabilité est une fonction d'onde plane : $\Psi (\mathbf {x} ,t)=A\;e^{i(\mathbf {p} \mathbf {x} -Et)/\hbar }$
Sa position est indéterminée et la fonction n'est pas normalisable.

Particule de position $\mathbf {x}$ déterminée

$\Psi (\mathbf {x} ,t)=\delta (\mathbf {x} )e^{-iEt/\hbar }$
Sa quantité de mouvement est indéterminée.

Particules multiples

Il y a une seule fonction scalaire pour l'ensemble des particules,

 $\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},...,\mathbf {x} _{n},t):\mathbf {R} ^{3n+1}\rightarrow \mathbf {C}$

Si les particules sont des bosons, la fonction est symétrique pour la permutation de 2 particules.

Si les particules sont des fermions, la fonction est anti-symétrique pour la permutation de 2 particules.

Théorie quantique des champs

spin 0 (Équation de Klein-Gordon)

Densité de particules : $\rho =j^{0}=i\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\phi ^{\dagger }-{\frac {\partial \phi ^{\dagger }}{\partial t}}\phi \right)$ ^[1]

Où $\phi$ et $\phi ^{\dagger }$ sont des opérateurs de champs.

Le nombre de particules étant positif pour les particules et négatif pour des antiparticules.

Voir aussi

Catégorie:Mécanique quantique

↑ (en) Robert D. Klauber, Student Firendly Quantum Filed Theory Basic Principles & Quantum Electrodynamics, Fairfield Iowa USA, Sandtrove Press, 2013, 62-63 p. (ISBN 978-0-9845139-5-6)

[1] (en) Robert D. Klauber, Student Firendly Quantum Filed Theory Basic Principles & Quantum Electrodynamics, Fairfield Iowa USA, Sandtrove Press, 2013, 62-63 p. (ISBN 978-0-9845139-5-6)

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