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La conjecture de Lehmer (ou problème de la mesure de Mahler de Lehmer) est une conjecture de théorie des nombres formulée par Derrick Henry Lehmer.

Elle affirme qu’il existe une constante absolue μ > 1 telle que pour tout polynôme à coefficients entiers $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$, l’une des propriétés suivantes est vérifiée :

• soit la mesure de Mahler $M(P)$ est supérieure ou égale à μ ;
• soit $P(x)$ est un multiple d’un produit de polynômes cyclotomiques ou d’un monôme $x^{n}$, auquel cas $M(P)=1$.

De manière équivalente, dans ce second cas, toutes les racines complexes de $P$ sont des racines de l’unité ou zéro.

Définition

Si $P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})$ est la factorisation de $P$ sur $\mathbb {C}$, la mesure de Mahler est définie par : $M(P)=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|).$

On pose également : $m(P)=\log M(P).$

Si $P$ est à coefficients entiers, alors $M(P)$ est un nombre algébrique et $m(P)\geq 0$. De plus, $m(P)=0$ si et seulement si $P$ est un produit de polynômes cyclotomiques ou un monôme.

Exemple de Lehmer

Le plus petit exemple connu de mesure de Mahler strictement supérieure à 1 est donné par le polynôme : $P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1,$ pour lequel $M(P)=1.176280818\ldots$

Ce nombre est un nombre de Salem. On conjecture qu’il s’agit de la plus petite valeur possible.

Motivation

La formule de Jensen implique que : $M(P)=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|).$

En posant $m(P)=\log M(P)$, on obtient une fonction positive qui s’annule exactement sur les produits de polynômes cyclotomiques et les monômes.

Lehmer a étudié les quantités : $\Delta _{n}=\mathrm {Res} (P(x),x^{n}-1)=\prod _{i=1}^{D}(\alpha _{i}^{n}-1),$ et a été conduit à se demander s’il existe une constante $c>0$ telle que $m(P)>c$ pour tout polynôme non cyclotomique, ou bien s’il existe des polynômes tels que $0<m(P)<c$.

Résultats partiels

Soit $P\in \mathbb {Z} [x]$ irréductible, unitaire, de degré $D$.

• Smyth a démontré la conjecture pour les polynômes non réciproques.
• Blanksby et Montgomery, ainsi que Stewart, ont montré qu’il existe une constante $C>0$ telle que :

$\log M(P)\geq {\frac {C}{D\log D}}.$

• Dobrowolski a amélioré cette borne :

$\log M(P)\geq C\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}.$

Analogues elliptiques

Soit $E/K$ une courbe elliptique définie sur un corps de nombres, et ${\hat {h}}_{E}$ la hauteur canonique.

La conjecture elliptique analogue affirme qu’il existe une constante $C(E/K)>0$ telle que : ${\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}$ pour tout point non de torsion $Q$, où $D=[K(Q):K]$.

Résultats restreints

Des bornes plus fortes sont connues dans certains cas particuliers :

• Si $P$ n’est pas réciproque :

$M(P)\geq 1.3247.$

• Si tous les coefficients de $P$ sont impairs :

$M(P)\geq 1.618.$

Liens avec la dynamique

La mesure de Mahler apparaît comme l’entropie d’automorphismes ergodiques de groupes compacts abéliens.

Voir aussi

• Mesure de Mahler
• Nombre de Salem
• Polynôme cyclotomique

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lehmer's conjecture » (voir la liste des auteurs).