Utilisateur:Nipou/La conservation de l'impulsion

Le théorème de la conservation de la quantité de mouvement est souvent utilisé, à tort, pour démontrer l'impossibilité de créer une machine pouvant se mouvoir dans l'espace sans injection de matière en sens inverse de la direction du déplacement de l'engin. Ce théorème est par contre seulement valable dans un référentiel Galiléen (que nous définirons plus précisément) mais qui, pour simplifier, ne peut pas contenir de corps en rotation, seulement des corps en déplacement uniforme (translation).

Le principe d'inertie

La première loi de Newton, le principe d'inertie stipule : « Tout corps, en mouvement rectiligne uniforme ou au repos, soumis à des forces qui se compensent, persévère dans son état » .

Cette loi, pour les corps en rotation, devient le principe du moment d'inertie : Tout corps, en mouvement circulaire uniforme ou au repos, soumis à des forces qui se compensent, persévère dans son état.

La rotation des corps rigides

Il existe une équivalence presque parfaite entre la physique des corps en translation et celle des corps en rotation. Cette équivalence est simplement dû au fait que les corps en rotation, étudiés dans un référentiel polaire, possèdent une vitesse angulaire ($\omega$) et une position angulaire ($\theta$) reliées par l'équation $\theta =\omega t$. Cette équation est très proche de ${\vec {r}}={\vec {v}}t$ mais s'en distingue par le fait que la première équation est scalaire alors que la seconde est vectorielle. Une conséquence importante de ce fait est que l'équivalent de la quantité de mouvement vectorielle des corps en translation devient le moment cinétique scalaire (ou faussement vectoriel) pour les corps en rotation. Plus important, un corps en rotation possède une quantité de mouvement nulle mais un corps en rotation ou en translation possède un moment cinétique non nul. Il est en fait possible d'appliquer la conservation du moment cinétique à un corps en translation mais pas la conservation de la quantité de mouvement à un corps en rotation. La conservation du moment cinétique semble donc un principe physique plus général que la conservation de la quantité de mouvement.

Le théorème de Noether

La généralisation du moment cinétique s'explique très bien depuis que le théorème de Noether (1918) qualifié de « monument de la pensée mathématique » par Albert Einstein a établi les correspondances suivantes :

• l'invariance par translation dans le temps entraîne la conservation de l'énergie.
• l'invariance par translation dans l'espace selon une direction $x^{i}$ entraîne la conservation de la quantité de mouvement $p_{i}$ dans la même direction.
• l'invariance par rotation dans l'espace entraîne la conservation du moment cinétique.

Cependant, une translation dans l'espace est la limite lorsque le rayon tend vers l'infini d'un mouvement de rotation, par conséquent, la conservation du moment cinétique est bel et bien une généralisation de la conservation de la quantité de mouvement.

Ceci implique que dans un référentiel contenant de véritables corps rigides pouvant tourner sur eux-mêmes, la conservation de la quantité de mouvement est fausse ; le moment cinétique pourrait se transformer en quantité de mouvement ou vice-versa. Remarquons que cette notion de transformation est relativement absurde puisque la quantité de mouvement est une forme de moment cinétique.

La notion de référentiel Galiléen

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est valide mais pas le principe du moment d'inertie. Par conséquent, dans un tel référentiel, il ne peut pas exister de mouvement de rotation d'un corp solide sur lui-même. Dans un tel référentiel, un corps est l'équivalent d'une entité ponctuelle (sans étendue) possédant une masse.

La notion de référentiel Mécanique

Nous définirons un référentiel mécanique comme un référentiel Galiléen dans lequel le principe du moment d'inertie s'applique. Dans un tel référentiel tridimensionnel, un corps rigide peut tourner autour des trois axes (roulis, tangage et lacet) et ainsi posséder trois moments cinétiques en plus d'une quantité de mouvement que nous interpréterons comme un autre moment cinétique de rotation autour d'un axe situé à une distance infinie.

Dans ce type de référentiel, le principe de conservation de la quantité de mouvement est fausse, seule la conservation du moment cinétique est valide.

Le moment cinétique de translation

Pour un point matériel M de vecteur position ${\vec {r}}$ le moment cinétique ${\vec {L_{O}}}$ par rapport à l'origine O est défini par :

${\vec {L_{O}}}={\vec {r}}\wedge {\vec {p}}$

où ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ est la quantité de mouvement de la particule.

Posons M se déplaçant dans le plan XY et possédant une vitesse ${\vec {v}}=(0,v)$ (et donc une impulsion de ${\vec {p}}=(0,mv)$) et passant à t = 0 par l'abscisse ; il se trouve alors a une distance d de l'origine. Nous avons donc ${\vec {r}}(t)=(d,vt)$, par conséquent :

${\vec {L_{O}}}(t)={\vec {r}}(t)\wedge {\vec {p}}(t)=(d,vt)\wedge (0,mv)=$ $\|{(d,vt)}\|\|{(0,mv)}\|sin(angle({\vec {r}}(t),{\vec {p}}(t)))=$ $\|{(d,vt)}\|\|{(0,mv)}\|(\|{(0,d)}\|/\|{(d,vt)}\|)=$ $\|{(0,mv)}\|\|{(0,d)}\|=$ $mvd$

En posant arbitrairement d à un (1) nous obtenons la quantité de mouvement mv.

Exemple de perte de quantité de mouvement

Imaginons une balle de fusil, voyageant dans l'espace intersidéral, d'impulsion $m{\vec {v}}$ frappant une poutre de bois immobile de masse M en plein centre. La balle pénètre le bois, il s'agit donc d'une collision non-élastique. Par contre, nous n'avons aucun mal à considérer la loi de la conservation de la quantité de mouvement valide et nous savons qu'après la collision, le centre de masse de la poutre se déplacera à la vitesse $v'=[m/(M+m)]{\vec {v}}$.

Mais si la balle frappe une extrémité de la poutre, la vitesse v' du centre de masse sera différent. En effet, une certaine quantité de mouvement (moment cinétique de translation) de la balle sera transformée en moment cinétique de rotation de la poutre et il restera moins de moment cinétique de translation pour le centre de masse du système.

Le principe de la conservation de la quantité de mouvement est faux dans ce cas. Vous pouvez facilement le vérifier en frappant avec le doigt sur un morceau de bois de section rectangulaire (une section ronde n'est pas isotrope en matière de frottement, à éviter).

Exemple de gain de quantité de mouvement

Imaginons un disque de masse M, de centre de masse immobile, en rotation dans l'espace intersidéral. Subitement un morceau de masse m de la périphérie se détache à la vitesse ${\vec {v}}$ possédant donc une quantité de mouvement $m{\vec {v}}$.

Par application de la conservation de la quantité de mouvement, nous serions tenté de présumer que le disque acquiert une vitesse ${\vec {v}}'=-[m/(M-m)]{\vec {v}}$. Mais ceci est faux, le centre de masse du disque se déplace simplement légèrement mais il ne subit aucun mouvement de translation.

Nous remarquerons qu'aucune force intérieure au système n'a agit et qu'aucune force extérieure non-plus. Nous avons simplement assisté à la rupture d'un couple de forces d'action-réaction. Pourtant, le système a réalisé un gain de quantité de mouvement de $m{\vec {v}}$.

En fait, le gain de moment cinétique de translation est compensé par la perte de moment cinétique de rotation. Si nous avions au départ un moment cinétique de rotation $p=Iw$. Nous avons après la rupture $p'=Iw-mv$.

Le moteur inertiel

Nous avons vu que considérer l'univers comme un référentiel Galiléen est une approximation grossière. En fait, ce que dit véritablement le principe de la conservation du mouvement en ce qui concerne le moteur inertiel est : S'il est impossible de transformer un moment cinétique de rotation en translation alors, aucun système mécanique ne peux transformer sa quantité de mouvement totale. Nous avons démontré que cette proposition est fausse.

Pour créer un moteur inertiel, il suffirait que notre disque de l'exemple précédent, active un puissant électro-aimant situé en son centre. En supposant la particule en déplacement ferromagnétique, elle serait attirée par l'électroaimant et vice-versa ; le disque finirait par rejoindre la particule et s'uniraient de nouveau à celle-ci. Par contre, la quantité de mouvement initialle de la particule serait conservée dans le système final (par transfert d'impulsion) et le disque ré-agrégé possèderait donc une quantité de mouvement.

Le principe du lancé rattrapé

Ce principe de moteur inertiel est le lancé rattrapé. Nous pouvons imaginer la masse qui est lancée à la périphérie du disque et qui s'éloigne de celui-ci dû à la rupture de la force centripète la maintenant en place et qui est ramenée vers le disque par un système électro-mécanique (remise en action de la force centripète) ou encore, qu'elle est tirée vers le centre par l'application d'une force qui se brise par la suite (comme le moteur inertiel de Bernard Bastita)